1、1陕西省咸阳市 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.与命题“若 ，则 ”等价的命题是 A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可.【详解】其等价的命题为其逆否命题：若 x2-2x-30，则 x3.【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力.2.在等比数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的值为 A. 6 B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解【详
2、解】 在等比数列 中， ， 是方程 的两根， 2 9 26=056=29=6的值为 56 6故选： B【点睛】本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.设 ，则下列不等式一定成立的是 2 22【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断2【详解】 ，2 222故选： B【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题4.命题“ ”的否定是（ ）,A. B. ,， 故选： D【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查5.不等式 的解集为 2+1
3、30A. B. |123 |12=30正弦定理： ，可得= 412=43解得： ；=32，0 【答案】A【解析】4【分析】利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可【详解】 ， ，53=25+3 31= 23+1 75= 27+5，3+1 25+3 27+5即 ，故选： A【点睛】本题主要考查式子的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键9.已知 x，y 满足约束条件 ，则 zx3y 的最小值为 402 20 A. 0 B. 2C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】作出平面区域，平移直线 x+3y=0 确定最优解，再求解最小值即可【详解】作出 x，y 满足约束条件 +4
4、02+20 所表示的平面区域如图，作出直线 x+3y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点 A（2，0）时Z 取得最小值：2；故答案为：B5【点睛】(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如： ,直线的纵截距为 ,所以纵截距 最小时，最大.=2 10.在等差数列 中，已知 ，且 ，则 中最大的是 6+70 A. B. C. D. 5 6 7 8【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出 a60， a70，从而可得和取最大值时的条件【详解】等差数列 an中
5、， a3+a100， a6+a7 a3+a100， S11 0，=11(1+11)2 a1+a110， a1+a112 a60， a60， a70，则当 n6 时， Sn有最大值故选： B【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.如图，在四面体 中， 、 分别在棱 、 上，且满足 ， ， =2 =6点 是线段 的中点，用向量 ， ， 表示向量 应为（ ） A. =13+14+14B. =1314+14C. =131414D. =13+1414【答案】A【解析】，化简得到 ，故选 A.=12+12=1223+1212(+) =13+14+1412
6、.设抛物线 C： 的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 上， ，线段 MF 中点2=2(0) |=5的横坐标为 ，若以 MF 为直径的圆过点 ，则抛物线 C 的焦点到准线的距离为 52 (0,2)A. 4 或 8 B. 2 或 8 C. 2 或 4 D. 4 或 16【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式和与 y 圆相切的条件，求出 ，代入抛物线方程(52,4)即可求出 p【详解】解： 抛物线 C 方程为 ， 焦点 ，准线方程为 ， 2=2(0) (2,0) =2设 ，由抛物线性质 ，可得 ，(,) |=+2=5 =52因为圆心是 MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横
7、坐标为 ，52+22 =52由已知圆半径也为 ，据此可知该圆与 y 轴相切于点 ，52 (0,2)7故圆心纵坐标为 2，则 M 点纵坐标为 4，即 ，代入抛物线方程得 ，所以 或 ，(52,4) 210+16=0 =2 =8则焦点到准线距离为 2 或 8故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，其中要注意以焦半径为直径的圆与 y 轴相切，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 ， 2， ，且 ，则 _=(2,1,2) =(4, ) / =【答案】 4【解析】【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列方程求 x 值【详解】解： ，/ 22=2=4故
8、答案为： 4【点睛】解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路14.若一元二次不等式 的解集是 ，则 a 的值是_22+20 (12,13)【答案】 6【解析】【分析】根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出 a 的值【详解】一元二次不等式 的解集是 ，22+20 (12,13)则 和 是一元二次方程 的实数根，12 13 22+2=0，12+13=1解得 =6故答案为： 6【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题815.已知两个正实数 x，y 满足 ，且恒有 ，则实数 m 的取值范围是2+1=1 +2_【答案】 (,
9、8)【解析】【分析】先用基本不等式求出 的最小值，然后解一元二次不等式得到结果+2【详解】解： ， ， ，0 02+1=1，+2=(+2)(2+1)=2+2+4+4+24=8当且仅当 ， 时，取等号，=4 =2恒成立等价于 ，+2 8故答案为： (,8)【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题16.当双曲线 M： 的离心率取得最小值时，双曲线 M 的渐近线方程为_222+4=1【答案】 =2【解析】【分析】求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出 m，即可求得双曲线渐近线方程【详解】解：双曲线 M： ，显然 ，222+4=1 0双曲线的离心率 ，=2+4 =+4+124+1=5当且仅当
10、 时取等号，=2此时双曲线 M： ，则渐近线方程为： 2228=1 =2故答案为： =2【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知 为等差数列，且 ， 3=6 6=30求 的通项公式；(1) 若等比数列 满足 ， ，求 的前 n 项和公式(2) 1=8 2=1+2+3 【答案】 （1） ；（2） .=212 =22(3)9【解析】【分析】设等差数列的公差为 d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则(1)的通项公式可求；求出 ，进一步得到公比，再由等比数列的前 n 项和公式求解(2) 2【详解
11、】 为等差数列，设公差为 d，(1)由已知可得 ，解得 ， 1+2=661+15=30 1=10=2；=1+(1)=212由 ， ，(2) 1=8 2=1+2+3=1086=24等比数列 的公比 ， =21=3的前 n 项和公式 =1(1)1 =81(3)1(3) =22(3)【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前 n 项和，是中档题18.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 1=31 求角 A 的大小；2 若 ， ，求 a 的值+=10=43【答案】() ；（） .=3 213【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得： ，结合 ，利用两角和的正弦函1=3 0数
12、公式可求 ，结合范围 ，可求 A 的值(+3)=32 +3(3,43)利用三角形的面积公式可求 ，进而根据余弦定理即可解得 a 的值=16【详解】由正弦定理可得： ，1=3，0，=3(1)，可得： ，+3=2(+3)=3 (+3)=32，+3(3,43)，可得： ，+3=23 =310 ，)=43=12=34可得： ， =16，+=10=2+223=(+)22=213【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.直三棱柱 中，底面 ABC 为等腰直角三角形， ， ，111 =2，M 是侧棱 上一点，
13、设 ，用空间向量知识解答下列问题1=4 1 =1 若 ，证明： ；=1 12 若 ，求直线 与平面 ABM 所成的角的正弦值=2 1【答案】 （1）见解析；（2）105【解析】【分析】1 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量的数1量积为 0 即可证明 C. 2 当 时，求平面 ABM 的法向量，利用向量法求出直线1 =2与平面 ABM 所成的角的正弦值1【详解】证明： 1 直三棱柱 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，111， ， ，=2 1=4M 是侧棱 上一点，设 ， ，1 = =111以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y
14、 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，10， ， 2， ， 0， ， 2， ，(2, 0) (0, 1) 1(0, 4) (0, 0)2， ， 2， ，=(2, 1) 1=(0, 4)， C.1=0+44=0 12 当 时， 2， ， 0， ，=2 (0, 2) 1=(2, 4)0， ， 2， ，=(2, 0) =(0, 2)设平面 ABM 的法向量 y， ，=(, )则 ，取 ，得 1， ，=2=0=2+2=0 =1 =(0, 1)设直线 与平面 ABM 所成的角为 ，1 则 =|1|1|= 420 2=105直线 与平面 ABM 所成的角的正弦值为 1105【点睛】本题考查利用向量的方法
15、证明线线垂直，考查向量法解决线面角问题，考查运算求解能力，属于基础题20.已知椭圆 C： 过点 ， ，直线 l： 与椭22+22=1(0) (3,22) (2,1) +1=0圆 C 交于 ， 两点(1,1) (2,2)1 求椭圆 C 的标准方程；2 已知点 ，且 A、M、N 三点不共线，证明： 是锐角(94,0) 【答案】 （1） ；（2）见解析24+22=1【解析】【分析】1 将题干中两点坐标代入椭圆 C 的方程，求出 a 和 b 的值，即可得出椭圆 C 的标准方程； 2 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算 ，并结合 A、M、N
16、 三点不共线，可证明出 是锐角0 12【详解】解： 1 将点 、 的坐标代入椭圆 C 的方程得 ，解得 ，( 3,22) ( 2,1) 32+122=122+12=1 2=42=2所以，椭圆 C 的标准方程为 ；24+22=12 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立 ，+1=024+22=1 消去 x 并化简得 ，(2+2)223=0恒成立，由韦达定理得 ， 0 1+2=22+2 12=32+2，同理可得=(1+94,1)=(1+54,1) =(2+54,2)所以， =(1+54)(2+54)+12=(2+1)12+54(1+2)+2516=3(2+1)2+2522(2+2)+2516=1
17、72+216(2+2)0由于 A、M、N 三点不共线，因此， 是锐角【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题21.如图，已知 平面 ACD， 平面 ACD， 为等边三角形， ，F =2为 CD 的中点求证： 平面 BCE；(1) /求二面角 的余弦值的大小(2) 【答案】 （1）见解析（2） 64【解析】【分析】（1）设 ，以 ， 所在的直线分别作为 轴、轴，以过点 在平面=2=2 内和 垂直的直线作为 轴，建立如图所示的坐标系，利用向量法证明 13，即证 平面 .(2)利用向量法求二面角 的余弦值的大=12(+) 小【详解】设 ，以 ， 所在的直线分别
18、作为 轴、轴，以过点 在平面 内=2=2 和 垂直的直线作为 轴，建立如图所示的坐标系， ， ， ， ， (0,0,0) (2,0,0) (0,0,) (, 3,0) (, 3,2) 为 的中点， (32,3,0)（1）证明 ， ， ，=(32,32,0) =(, 3,) =(2,0,) ， 平面 ，=12(+) 平面 （2）设平面 的一个法向量 ， =(,)则 ， 即 ， 不妨令 可得 =0=0 +3+=02=0 =1 =(1,3,2)设平面 的一个法向量 ，则 ， =(,) =0=0 即 ， 令 可得 +3+=0+3=0 =3 =( 3,1,0)于是， ,=|=64故二面角 的余弦值为 6
19、4【点睛】 （1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形） .方法二：（向量 法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式 （其中 分别是两个平面,=| ,的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择 “ ”号） 1422.已知抛物线 E： 的焦点为 F， 是抛物线 E 上一点，且 2=2(0) (2,0) |=21 求抛物线 E 的标准方程；2 设点 B 是抛物线 E 上异于点 A 的任意一点，直线 AB
20、 与直线 交于点 P，过点 P 作=3x 轴的垂线交抛物线 E 于点 M，设直线 BM 的方程为 ，k，b 均为实数，请用 k 的=+代数式表示 b，并说明直线 BM 过定点【答案】 （1） ；（2）见解析2=4【解析】【分析】1 利用抛物线的定义与性质求 p 的值，即可写出抛物线方程； 2 设点 ， ，(1,1) (2,2)由直线 BM 的方程和抛物线方程联立，消去 y，利用根与系数的关系和 A，P，B 三点共线，化简整理可得 BM 的方程，从而求出直线 BM 所过的定点【详解】解： 1 根据题意知， ，4=20因为 ，所以 ，|=2 0+2=2联立解得 ， ；0=1 =2所以抛物线 E 的标准方程为 ；2=42 设 ， ；(1,1) (2,2)又直线 BM 的方程为 ，代入 ，得 ；=+ 2=4 244=0由根与系数的关系，得 ， ；1+2=4 12=4由 轴及点 P 在直线 上，得 ， =3 (2,23)则由 A，P，B 三点共线，得 ，2422=1+112整理，得 ；(1)12(24)1+(+1)226=0将代入上式并整理，得 ，(21)(2+3)=0由点 B 的任意性，得 ，即 ， 2+3=0 =32所以 ；=+32=(2)+3即直线 BM 恒过定点 (2,3)【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题，是中档题15
