1、- 1 -辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三数学下学期开学考试试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若 ，则 z 的共轭复数 对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设全集 U=1，2，3，4，5， M=3，4， N=2，3，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. 2， B. C. D. 2，3. 已知 ，则 展开式中的常数项为 （ ）A. 20 B. C. D. 154. 三棱锥 S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，给出的是计算 + +
2、+ 值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A. ？ B. ？C. ？ D. ？- 2 -6. 已知函数 （ ， ）的两个零点分别在区间 和 内，则的最大值为（ ）A. 0 B. C. D. 7. 已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1+a3= ，且 a2+a4= ，则 =（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 9. 某人参加一次考试，4 道题中答对 3 道题则为及格，已知他的解题正确率为 0.4，则他能及格的概率为（ ）A. B. C. D. 10. 已知双曲线 离心率为 ，
3、则其渐近线与圆 的位置关系是（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定11. 已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. - 3 -12. 已知 且函数 恰有 3 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知 =（1，0）， =（1，1），且（ + ） ，则 = _ 14. 设数列 an满足 a11，且 an+1 an n1( n N*)，则数列 前 10 项的和为_15. 如图，抛物线 y2=2px（ p0）的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上
4、一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C（ p，0），AF 与 BC 相交于点 E若| CF|=3|AF|，且 ACE 的面积为3，则 p 的值为_16. 已知 P 是 ABC 的边 BC 上任一点，且满足 ， x、 y R，则 + 的最小值为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 在锐角三角形 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c， ， ；（1）若 ，求 b 的值；（2）求 的取值范围.- 4 -18. 近年来，课堂教学改革已经步入深水区，改革的深度和宽度已经发生变化，这些变化必将对未来的课堂教学产生巨大的影响在课堂教学中各种电子产品开始进入课堂
5、，在帮助学生获取信息方面展现出得天独厚的优势，但是也产生了一些弊端某教育机构对电子产品进入课堂是否对学生学习有益进行了问卷调查，随机抽取了 2000 名家长，对参与调查的 1000 人按性别以及意见进行了分类：男 女 总计认为电子产品对学生学习有益 400 300 700 认为电子产品对学生学习无益 100 200 300 总计 500 500 1000 （）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与性别有关系？（）现按照分层抽样，从认为电子产品对学生学习无益的人员中随机抽取 6 人，再从 6 人中随机抽取 2 人赠送小礼品作为答谢，记男性的人数为 ，求
6、的分布列和数学期望附： ，其中 n a+b+c+dP(K2 k) 0.050 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 - 5 -19.如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD， AB CD， AD=CD=1， BAD=120， PA=， ACB=90， M 是线段 PD 上的一点（不包括端点）（）求证： BC平面 PAC； （）求二面角 D-PC-A 的正切值；（）试确定点 M 的位置，使直线 MA 与平面 PCD 所成角 的正弦值为 20.已知椭圆 过点 ，且焦距为 2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设过点 P（-2，0）的直
7、线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，点 ，如果|GA|=|GB|，求直线 l 的方程21.已知函数 f（ x）= x+xlnx（1）求函数 f（ x）的图象在点（1，1）处的切线方程；- 6 -（2）若 k Z，且 k（ x-1） f（ x）对任意 x1 恒成立，求 k 的最大值22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：=4cos，直线 l 过点 M（1，0）且倾斜角 = （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，求| AB|的值23.选修 4-
8、5：不等式选讲已知函数（1）当 时，解不等式 ；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.- 7 -答案和解析1.【答案】 C【解析】【分析】本题考查复数的运算及共轭复数的定义,同时考查复数的几何意义，利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出 【解答】解：因为 ， 则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点（-4，-3）在第三象限 故选 C2.【答案】 C【解析】解：阴影部分表示的集合为 N（ UM）， 则 UM=1，2，5， 则 N（ UM）=2， 故选：C 阴影部分表示的集合为 N（ UM），根据集合的基本运算即可得到结论 本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是
9、解决本题的关键3.【答案】 B【解析】【分析】本题考查利用微积分基本定理求解定积分及二项展开式特定项的系数，属于中档题目.【解答】解：由 = ,- 8 -得 = ,则 展开式的通项公式为 ,由 6-2k=0 可得 k=3,所以 展开式中的常数项为 .故选 B.4.【答案】 B【解析】解：由已知中的三视图可得 SC平面 ABC，且底面ABC 为等腰三角形，在ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，故 BC=4，在 RtSBC 中，由 SC=4，可得 SB=4 ，故选：B5.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了循直到型循环结构的应用问题，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环还是不满
10、足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S 的值【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环：i=2，S=0+ ，- 9 -第二循环：i=4，S= + ，第三次循环：i=6，S= + + ，依此类推，第 1008 次循环： i=2016，S= + + + ，i=2018，不满足条件，退出循环，输出 s 的值，所以 i2017 或 i2017故选 C6.【答案】 B【解析】【分析】利用二次函数零点所在区间，列出不等式组；结合线性规划求解目标函数最值
11、.【解答】根据题意得 ,即 ,画出可行域，可得直线 z=a+b 过直点 A（-3，-1）时取最大值.z=a+b 最大值为-4.故选 B.7.【答案】 D【解析】解：设等比数列a n的公比为 q，q= = ，a 1+a3=a1（1+q 2）=a 1（1+ ）= ，解得：a 1=2，a n=2（ ） n-1=（ ） n-2，S n= ，- 10 - = =2n-1，故选：D设出等比数列的公比为 q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出 q 的值，进而求出 a1的值，表示出 Sn与 an，即可求出之比此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键8.【答案】 D【解析】略9.【答案】 B【
12、解析】解：他答对 3 道题的概率为 ，他答对 4 道题的概率为 ，故他能及格的概率为 ，故选 B先求得他答对 3 道题的概率为 ，他答对 4 道题的概率为 ，相加即得所求本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题10.【答案】 C【解析】【分析】- 11 -本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题【解答】解：由题意得， ，双曲线是等轴双曲线，渐近线为y=x， ，则渐近线与圆的关系是相离，故选 C.11.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了利用导函数研究
13、函数的单调性，解题的关键是能构造出相关函数.【解答】解：设 g（x）=xf（x），则 g （x）=xf（x） =xf（x）+f（x）0，函数 g（x）在（0，+）上是增函数， ，且 x0，x+11， ，即 ，- 12 - ，解得 ，故选 B.12.【答案】 D【解析】略13.【答案】-1【解析】解： =（1，0）， =（1，1），且（ + ） ，可得 2=1， =1+0=1，（ + ） =0，即得 2+ =0，即 1+=0，解得 =-1故答案为：-1由向量垂直的条件和向量数量积的坐标表示，即可得到所求值本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件，属于基
14、础题14.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题根据累加法求得 an= ， 可得 =2 ，根据裂项相消法数列的前 n 项的和 Sn.- 13 -【解答】解：由题意有 a2 a12， a3 a23， an an1 n( n2)以上各式相加，得an a123 n .又因为 a11，所以 an (n2)因为当 n1 时也满足此式，所以 an (nN *)所以 2 .所以 S1022 .故答案为 .15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了
15、推理能力与计算能力，属于难题如图所示，F（ ，0），由于 ABx 轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|利用抛物线的定义可得 xA，代入可取 yA，再利用 SACE =3，即- 14 -可得出【解答】解：如图所示，F（ ，0），|CF|=3pABx 轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|x A+ =p，解得 xA= ，代入可取 yA=p，S ACE = SABC = =3解得 p=2 故答案为:2 16.【答案】9【解析】解： ， 共线 存在实数 （1），满足 = = = = =
16、（1-） + x=1-，y=，即 x+y=1 + = =5 5+2 =9 当且仅当 ，即 x= 时，取最小值为 9 故答案为：9 - 15 -利用向量加法三角形法则将 表示出来，找出 x，y 的关系，进而求出 + 的最小值 本题主要考察了向量加法与减法三角形法则，及不等式的求解问题，属于中档题17.【答案】解：（1）由余弦定理得得，.，故或，此时 c 为最大边，当 b=1 时， C 为钝角，舍去；当 b=2 时， C 为锐角，成立，所以 b=2；（2），三角形 ABC 为锐角三角形，所以.，所以，所以的取值范围为.【解析】（1）由余弦定理得 得到关于 b 的一元二次方程，解出 b 的值，检验是
17、否使得三角形为锐角三角形即可；（2）把 C 用 B 表示，利用两角和的正弦公式展开，再由辅助角公式化为一个角的正弦函数，由 B 的范围，利用正弦函数的性质求得 sinB+sinC 的范围.18.【答案】解：()依题意，在本次的试验中， K2 的观测值，故可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与性别有关系.()依题意，按分层抽样，从认为电子产品增多对学习无益的女性中抽取 4 人，记为 A， B， C， D，从认为电子产品增多对学习无益的男性中抽取 2 人，记为 a， b，- 16 - 可以取值 0，1，2. ，那么 的分布列为 0 1 2p 的期望值为.【解析】本题通过
18、独立性检验和古典概型，考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及数据分析数学核心素养.()由公式求出 k2的观测值，与 10.828 比较，即可判断是否在犯错的概率不超过 0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与性别有关系；()，按分层抽样，在女性中抽取 4 人，男性中抽取 2 人， 可以取值 0，1，2. ，由古典概型结合组合数公式求出 的每个取值对应的概率，就求得分布列，由期望的定义求得期望.19.1.【答案】解：（） PA底面 ABCD， BC平面 AC， PA BC， ACB=90， BC AC，又 PA AC=A， BC平面 PAC（）取 CD 的中点 E，则 AE CD，
19、AE AB，又 PA底面 ABCD， PA AE，建立如图所示空间直角坐标系，- 17 -则 A（0，0，0）， P（0，0，）， C（，0）， D（，-，0）=（0，0，），=（，0），设平面 PAC 的一个法向量，则，设平面 PDC 的一个法向量，则，设二面角 D-PC-A 的平面角为 ，cos=|cos|=|=|=，故二面角 D-PC-A 的正切值为 2（）设 M（ x， y， z），则（ x， y， z-）= m（），解得点 M（），即=（），由 sin=，得 m=1（不合题意舍去）或 m=，所以当 M 为 PD 的中点时，直线 AM 与平面 PCD 所成角的正弦值为20.【答案】解：
20、（1）由 2c=2， c=1，由 a2=b2+c2=b2+1，则，解得： b2=1， a2=2，椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知设直线 l 的斜率为 k，直线 l 的方程为 y=k（ x+2），整理得：（1+2 k2） x2+8k2x+8k2-2=0，设 A， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2）， AB 的中点 M（ x0， y0），则 x1+x2=-， x1x2=，则 y1+y2=k（ x1+2）+ k（ x2+2）=，=（8 k2） 2-4（1+2 k2）（8 k2-2）0，解得：- k，则 x0=-， y0=，- 18 -由| GA|=|GB|，则 GM AB
21、，则 kGM=-，（ k0），解得： k=或 k=（舍），当 k=0 时，显然满足题意；直线 l 的方程为： y=（ x+2）或 y=0【解析】（1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）将直线代入椭圆方程，由0，求得 k 的取值范围，由|GA|=|GB|，则 GMAB，根据直线的斜率公式，即可求得 k 的值 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题21.【答案】解：（1）因为函数 f（ x）= x+xlnx，所以 f（ x）=ln x+2，所以 f（1）=2，则函数 f（ x
22、）的图象在点（1，1）处的切线方程 y-1=2（ x-1），即 2x-y-1=0；（2）因为 f（ x）= x+xlnx，所以 k（ x-1） f（ x）对任意 x1 恒成立，即 k（ x-1） x+xlnx，因为 x1，也就是对任意 x1 恒成立令，则，令 h（ x）= x-lnx-2（ x1），则，所以函数 h（ x）在（1，+）上单调递增因为 h（3）=1-ln30， h（4）=2-2ln20，所以方程 h（ x）=0 在（1，+）上存在唯一实根 x0，且满足 x0（3，4）当 1 x x0时， h（ x）0，即 g（ x）0，当 x x0时， h（ x）0，即 g（ x）0，所以函数在
23、（1， x0）上单调递减，在（ x0，+）上单调递增所以所以 k g（ x） min=x0 因为 x0（3，4）故整数 k 的最大值是 3【解析】（1）求出函数的导函数，进一步得到 f（1）的值，由直线方程的点斜式写出直线方程； - 19 -（2）把函数 f（x）的解析式代入 k（x-1）f（x），整理后得 k ，问题转化为对任意 x（1，+），k 恒成立，求正整数 k 的值设函数 g（x）=，求其导函数，得到其导函数的零点 x0位于（3，4）内，且知此零点为函数g（x）的最小值点，经求解知 g（x 0）=x 0，从而得到 kx 0，则正整数 k 的最大值可求 本题考查了利用导数研究曲线上某点
24、的切线方程，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（2）时如何求解函数 g（x）= 的最小值，学生思考起来有一定难度此题属于难度较大的题目22.【答案】解：（1）=4cos， 2=4cos， x2+y2=4x,即（ x-2） 2+y2=4,所以曲线 C 的直角坐标方程是（ x-2） 2+y2=4 ,又因为直线 l 过点 M（1，0）且倾斜角 =,所以直线 l 的参数方程是（ t 为参数），也就是（ t 为参数）,（2）由（1）知曲线 C 的圆心 C（2，0），半径 r=2,而直线 l 的斜率，所以直线 l 的直角坐标方程是 x-y-1=0 ,圆心到直线的距离 d=，| AB|=2= .【
25、解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得曲线 C 的直角坐标方程，设参数，可得直线l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求出圆心到直线的距离，即可求|AB|的值本题考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题23.【答案】解：（1）当 a=3 时，不等式 f（ x）0，即| x-2|-|2x-3|0，或 ，或，解求得，解求得，解求得.- 20 -综上可得，不等式 f（ x）0 的解集为 x|.（2）当 x(-,2)时， f(x)+x20 恒成立，即 2-x-|2x-a|+x20 恒成立，即|2 x-a|x2-x+2 恒成立，所以当 x(-,2)时，恒成立，所以，解得综上可得， a 的取值范围是.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题.（1）当 a=3 时，不等式即|x-2|-|2x-3|0，把它等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题意，当 x（-，2）时，|2x-a|x 2-x+2 恒成立，分类讨论 x 的范围，分别求得a 的范围，综合可得 a 的取值范围.
