1、- 1 -辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三数学下学期开学考试试题 文一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. B. C. D. 2. 设复数 z=2+i，则复数 z（1- z）的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 3. 一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图都是面积为 ，且一个角为 60的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为 A. B. C. 1 D. 24. 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a3+a17=10，则 S19的值是（ ）A. 55 B. 95 C. 100 D. 不确定5. 已知点 F
2、 是双曲线 =1（ a0， b0）的右焦点，点 E 是左顶点，过 F 且垂直于 x轴的直线与双曲线交于点 A，若 tan AEF1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 如图所示，程序框图的输出结果是 s= ，那么判断框中应填入的关于 n 的判断条件是（ ）- 2 -A. ？ B. ？C. ？ D. ？7. 函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 8. 函数 的图象如下图，则下列有关 f(x)性质的描述正确的是（ ）A. B. 为其所有对称轴C. 向左移 可变为偶函数 D. 为其减区间9. 函数 在点（1,0）处的切线方程是（ ）A. B. C. D.
3、10. P 是双曲线 - =1 的右支上一点， M、 N 分别是圆（ x+5） 2+y2=4 和（ x-5） 2+y2=1 上的点，则| PM|-|PN|的最大值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9- 3 -11. 定义域 R 的奇函数 f（ x），当 x（-，0）时 f（ x）+ xf（ x）0 恒成立，若a=3f（3）， b=f（1）， c=-2f（-2），则（ ）A. B. C. D. 12. 函数 的图像可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知平面向量 ，且 ，则 _14. 设实数 xy 满足约束条件 ，则 z=2x
4、+3y 的最大值为 _ 15. 某学校要从 A， B， C， D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则 A， B 两名老师都被选中的概率是 _ 16. 在 ABC 中，若 A120， c5， b3，则 sinBsinC_三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 2Sn3 an1（ n N*）（1）求数列 an的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Tn- 4 -为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查，得到了如下的列表：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 20 5 25 女生 10
5、 15 25 合计 30 20 50 下面的临界值表供参考：p（ K2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：（1）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽 9 人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的 9 人中选 3 人，求至多有一名女生的概率（3）为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出 K2，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？- 5 -18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD BC， ADC=90，平面 PA
6、D底面 ABCD， Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点， PA=PD=2， BC= AD=1， CD= （1）求证：平面 MQB平面 PAD；（2）若 M 是棱 PC 的中点，求四面体 M-PQB 的体积19. 已知 是椭圆 C： 与抛物线 E: 的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 F（）求椭圆 C 抛物线 E 的方程；（）设过 F 且互相垂直的两动直线 ， l1椭圆 C 交于 A,B 两点， l2与抛物线 E交于 C,D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值.20. 设函数 （1）当 时，求函数 的单调递增区间；- 6 -（2）对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围2
7、1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）椭圆 C的参数方程为 （ 为参数），设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，求线段 AB 的长22. 已知函数 （1）求不等式 的解集；（2）若 ， ，函数 的最小值为 ，求 的最小值- 7 -、- 8 -答案和解析1.【答案】 A【解析】略2.【答案】 B【解析】解：z=2+i，z（1-z）=（2+i）（-1-i）=-1-3i， 复数 z（1-z）的共轭复数为-1+3i 故选：B 把 z=2+i 代入 z（1-z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数 z（1-z）的共轭复数 本题考查复数代数形式的
8、乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了棱锥的结构特征，三视图和体积计算，属于基础题.熟练掌握由三视图还原的几何体的形状是解题的关键. 【解答】 解：几何体为两个大小相同的四棱锥的组合体正视图、侧视图都是面积为 ，且一个角为 60的菱形，棱锥的底面边长为 1，棱锥的高为 ，所以- 9 -故答案为 B.4.【答案】 B【解析】解：在等差数列a n中，由 a3+a17=10，得 2a10=10，a 10=5 故选：B 由等差数列的性质，结合 a3+a17=10 求出 a10，代入前 19 项的和得答案 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和
9、，是基础的计算题5.【答案】 B【解析】解：由题意可得 E（-a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b = ，在直角三角形 AEF 中，tanAEF= = 1，可得 b2a（c+a），由 b2=c2-a2=（c-a）（c+a），可得c-aa，即 c2a，可得 e= 2，但 e1，可得 1e2故选：B由题意可得 E（-a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令 x=c，代入双曲线的方程可得|AF|，再由正切函数的定义，解不等式结合离心率公式，计算即可得到所求范围本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的方程和性质，注意运用正切函数的定义，考查运算能力，
10、属于中档题6.【答案】 B【解析】- 10 -解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件，s= ，n=4满足条件，s= ，n=6满足条件，s= + = ，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出 s 的值为 结合选项，判断框中应填入的关于 n 的判断条件是：n8？故选：B首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质然后对循环体进行分析，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及 i 的关系最终得出选项本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题7.【答案】 D【解析】【分析】将函数直接去绝对值即可求解此题.【解答】解：由 ，易知此题选
11、D 正确，故选 D.8.【答案】 D【解析】略- 11 -9.【答案】 D【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.先求出 在点（1,0）处的导数，再由直线方程的点斜式可得.【解答】解：函数 ，y=3x 2-2 ，当 x=1 时，y=1，即 k=1，函数 在点（1,0）处的切线方程是 y=x-1.故选 D.10.【答案】 D【解析】解：双曲线 - =1 中，如图：a=3，b=4，c=5，F 1（-5，0），F 2（5，0），|PF 1|-|PF2|=2a=6，|MP|PF 1|+|MF1|，|PN|PF 2|-|NF2|，-|PN|-|PF 2|+|NF2|，所以，|
12、PM|-|PN|PF 1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|=6+1+2=9故选：D由题设通过双曲线的定义推出|PF 1|-|PF2|=6，利用|MP|PF 1|+|MF1|，|PN|PF 2|-|NF2|，推出|PM|-|PN|PF 1|+|MF1|-|PF2|-|NF2|，求出最大值本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化- 12 -11.【答案】 A【解析】解：设 g（x）=xf（x），依题意得 g（x）是偶函数，当 x（-，0）时，f（x）+xf（x）0，即 g（x）0 恒成立，故 g（x）在 x（-，
13、0）单调递减，则 g（x）在（0，+）上递增，又 a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），故 acb故选：A先构造函数 g（x）=xf（x），依题意得 g（x）是偶函数，且 g（x）0 恒成立，从而故g（x）在 x（-，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出 g（x）在（0，+）上递增，即可比较 a，b，c 的大小本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题12.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了函数图象的应用，因其为选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代
14、入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果.【解答】解：若 ,则 ,图（4）符合，若 ，则当 时， ,图象过原点，排除（1）；- 13 -a 取 1 时，（2）符合，a 取-4 时，（3）符合，综上可知：图象（2）（3）（4）符合.故选 C.13.【答案】（-4，-8）【解析】【分析】本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力通过向量的平行，求出 m，然后直接求解 即可【解答】解：因为平面向量 ，且 ，所以 1m-（-2）2=0，m=-4，所以 =2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）故答案为（-4，-8）14.【答案】26【解析】解：作出不等式对应的
15、平面区域（阴影部分）， 由 z=2x+3y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最大 由 ，解得 ， 即 A（4，6） 此时 z 的最大值为 z=24+36=26， 故答案为：26 - 14 -作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键15.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，古典概型，考查运算求解能力，难度适中.【解答】解：某学校要从 A，B，C，D 这四名老师中选择两名去新疆支教，基本事件总数 ,A，B
16、 两名老师都被选中基本事件总是 ,则 A，B 两名老师都被选中的概率是 .故答案为 .16.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦定理和余弦定理,由余弦定理求出 a,然后利用正弦定理求解即可.【解答】解: 因为 A120，c5，b3，所以由余弦定理有 ,所以 a=7,由正弦定理 ,得 ,所以 ,- 15 -所以 .故答案为 .17.【答案】【解答】解:（1） n=1 时有,当 n2 时，两式相减得，整理得.故数列 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列.故（2）两式相减得整理得故,【解析】【分析】（1）先求出 a1=1，当 n2 时， , 两式相减得 ，推导出数列a n是首项为 1，公比为 3
17、 的等比数列，由此能求出数列a n的通项公式（2）利用错位相减法能求出数列na n的前 n 项和 Tn本题考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18.【答案】解：（1）在喜欢打篮球的学生中抽 9 人，则抽取比例为，男生应该抽取人；（2）在上述抽取的 9 名学生中，女生的有 3 人，男生 6 人；则从 9 名学生任取 3 名的所有情况为：种情况，其中恰有 1 名女生情况有：种情况，没有女生的情况有：种情况故上述抽取的 9 人中选 3 人，至多有一名女生的概率概率为；- 16 -（3），且，有 99.5%的把握
18、认为是否喜欢打篮球是与性别有关系.【解析】（1）根据分层抽样原理计算样本中男生应抽取的人数；（2）计算基本事件数，求出对应的概率值；（3）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论本题考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验问题，是中档题19.【答案】（1）证明： AD BC， BC=AD， Q 为 AD 的中点，四边形 BCDQ 为平行四边形， CD BQ ADC=90， AQB=90，即 QB AD又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， BQ平面 PAD BQ平面 PQB，平面 PQB平面 PAD；（2）解： PA=PD=2， Q 是 A
19、D 的中点， PQ平面 ABCD， PQ BC， DCBQ 是矩形， BC QB， PQ QB=Q， BC平面 PQB，四面体 M-PQB 的体积=【解析】（1）推导出四边形 BCDQ 为平行四边形，从而 CDBQ又 QBAD从而 BQ平面 PAD，由此能证明平面 PQB平面 PAD （2）证明 BC平面 PQB，利用三棱锥的体积公式进行求解即可 本题考查面面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题- 17 -20.【答案】解:（）抛物线 E：一点,所以,即 p=2,即抛物线 的方程为，所以 F(1,0),得, 又在椭圆 C:上所以，结合,得 a2=4,b2=3（负舍
20、）， 所以椭圆 C 的方程为，抛物线 E 的方程为;（）由题可知直线 l1斜率存在，设直线 l1的方程 y=k(x-1)，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),当 k=0 时，| AB|=4，直线 l2的方程 x=1,|CD|=4，故,当 k0 时，直线 l2的方程为，由得,所以,由弦长公式知.同理可得,所以,令 t=k2+1,t1,则,当 t1 时，,所以,综上所述：四边形 ABCD 面积的最小值为 8.【解析】- 18 -本题考查椭圆和抛物线的标准方程及简单几何性质,同时考查直线与椭圆和抛物线的位置关系.()由已知求出 p,得焦点坐标,然后利用 P 在椭圆
21、上即可求解;()当斜率不存在时, ,当斜率存在时,联立方程求出|AB|,|CD|,然后利用面积公式求解即可.21.【答案】解：（1）由，令得： ,所以当时，单调递增区间是；（2）令，则成立等价于，若，当，则，而，即恒成立；若时，则，当，由是减函数， ，又，所以在上是减函数，此时当， ;若时， ， ，所以在有零点，在区间，设，所以在上是减函数，即在有唯一零点，且在上， ，在为增函数，即在上，所以，不合题意，综上可得，符合题意的的取值范围是【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题的应用.（1）对函数进行求导，根据导函数与零的大小关系求出函数的单调增区间即可；- 19 -（2）
22、令 ，则 成立等价于 ，对 a 进行分类讨论，进一步求出 a 的取值范围.22.【答案】解：据椭圆 C 的参数方程为 （为参数），可得椭圆 C 的普通方程为将直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）代入椭圆 C 的普通方程，化简得，设点 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，则所以即线段 AB 的长为 【解析】本题考查了直线的参数方程，椭圆的参数方程以及化为普通方程，属于基础题.将 l 参数方程代入椭圆的普通方程，求出参数的两根之和与两根之积，根据参数的几何意义即可求出|AB|23.【答案】解：（1）设 m(x）=当时，-2 x1,成立,当 13 时,-4 x+61,解出 x,所以 x3.当 1x 时,2 x1,解出 x成立.综上知不等式的解集为(;- 20 -（2）=4,所以 t=4.所以，所以=4.=（）（）=（5+)=.所以的最小值为.【解析】（1）将不等式转化成分段函数，然后求解;（2）利用绝对值的性质，求出函数的最小值，然后利用基本不等式确定最小值.
