1、- 1 -辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三数学上学期期中试题 文时间：120 分钟 分值：150 分一、选择题（每题一个选项，每题 5 分共 60 分）1已知集合 20Ax， 21xB，则（ ）A B B ARC 1ABxD AB2复数 32iz的共轭复数 z（ ）A B 3i C 23i D 23i3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D3263432324已知等差数列 满足 ， 则它的前 10 项的和 （ ）na24a3510a10SA138 B135 C95 D235双曲线2:1xyEab的半焦距为 c， 1F， 2分别为 E的左右焦点，若 E上存在
2、一点 P，使得 ，则 E离心率的取值范围是（ ）12cPFA ,3B 3,C 1,2D 2,6. 如图给出的是计算 15207 的值的一个程序框图，则判断框内可 以填入的条件是（ ）- 2 -A 109?iB 108?iC 10?iD 10?i7. 函数 sin2fx的导函数在 ,上的图象大致是（ ）A BC D8. 已知函数 sinyAxb的最大值为 3，最小值为 1两条对称轴间最短距离为 2，直线 6x是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）A4sin2yB2sin16yxCsi3xDsi39. 三次函数21fax的图象在点 1,f处的切线与 x轴平行，则 fx在区间 1,3上
3、的最小值是（ ）A5B 6C 3D 8310点 为双曲线 的右支上一点， ， 分别是圆 和圆P219xyMN254xy上的点，则 的最大值为（ ）25xP- 3 -A7 B8 C9 D1011设函数 fx是奇函数 fxR的导函数， 10f，当 x时，0xf，则使得 0成立的 x的取值范围是（ ）A ,1,B 1,C D 0,1,12已知函数 yfxR满足 2fxfx，若函数1exy的图象与函数f图象的交点为 1,y， 2,， L， ,n，则 12nL（ ）A0 B nC D 4二、填空题(每小题分，每题分共分) 13. 已知 为锐角， 3,si4a， 1cos,3b，且 ab，则 为_14.
4、若变量 x， y满足1025xy，则 xy的最大值为 15. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_16在 ABC 中， 60， 3AC，则 2BC的最大值为 三解答题：(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 （12 分）设 为数列 的前项和，已知 ， ， nSna10a1nnaSN（1）求 ， ；1a2（2）求数列 的通项公式；n（3）求数列 的前 项和a18 （12 分）2018 年为我国改革开放 40 周年，某事业单位共有职工 600 人，其 年龄与人数分布表如下：年龄段 2,3535,445,5,9人
5、数（单位：人） 180 180 160 80- 4 -约定：此单位 45 岁59 岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取 30 人作为全市庆祝晚会的观众（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12 人和 5 人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事完成下列 22 列联表，并回答能否有 的把握认为年龄层与热衷关90%心民生大事有关？热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计青年 12中年 5总计 30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中 1 人擅长歌舞，3 人擅长乐器）中，随机抽取2 人上台表演节目，则抽出的 2 人能胜任才艺表演
6、的概率是多少？19 （12 分）在四棱锥 PABCD中， P平面 ABCD，且底面 AB为边长为 2 的菱形，60BAD， 2（1）证明：面 PAC面 DB；（2）在图中作出点 在平面 内的正投影 M（说明作法及其 理由） ，并求四面体BM的体积20. （12 分）已知椭圆 210xyab与抛物 线 20ypx共交点 2F，抛物线上的点 到 y轴的距离等于 2F，且椭圆与抛物线的交点 Q满足 5（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；- 5 -（2）国抛物线上的点 P做抛物线的切线 ykxm交椭圆于 A， B两点，设线段 AB的中点为 0(,)Cxy，求 0x的取值范围21. 已知函数ln1xf（1
7、）确定函数 在定义域上的单调性；（2）若 exfk在 ,上恒成立，求实数 k的取值范围选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xoy中，已知曲线 1C、 2的参数方程分别为 1C：2cos3inxy为 参 数，2C：1csint为 参 数（1）求曲线 1、 2的普通方程；- 6 -（2）已知点 1,0P，若曲线 1C与曲线 2交于 A、 B两点，求 PBA的取值范围23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 1fxx（1）解不等式 2f；（2）设函数 fx的
8、最小值为 m，若 a， b均为正数，且14mab，求 ab的最小值.高三期中数学试卷答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案D C A C D A D B A C B B二、填空题13、 15或 7 14、5515、 4 16、 27三、解答题- 7 -17. （1）令 n，得211a，因 为 0a，所以 a，令 2，得 2221S，解得 2（2）当 n时， ；当 时，由 21nnaS， 112naS，两式相减，整理得 12na，于是数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以1na（3）由（2）知n，记其前 项和为 nT，于是 2113nnTL2 得21
9、1212nnnnTL从而 ()n18. （1）抽出的青年观众为 18 人，中年观众 12 人；（2）22 列联表如下：热衷关 心民生大事 不热衷关心民生大事 总计青年 6 12 18中年 7 5 12总计 13 17 30，22306514051.832.70678K没有 的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；9%（3）热衷关心民生大事的青年观众有 6 人，记能胜任才艺表演的四人为 ， ， ， ，1A234A其余两人记为 ， ，则从中选两人，一共有如下 15 种情况：1B2， ， ， ， ， ， ， ， ，12,A3,14,A23,24,A34,1,B12,21,B， ， ， ， ， ，,3
10、,41,B,12,- 8 -抽出的 2 人都能胜任才艺表演的有 6 种情况，所以 6215P19. （1）因为 PD平面 ABC， ABCD面 ，所以 AC，在菱形 ABC中， ，且 P，所以 B面 ，又因为 面 ，所以面 面 （2）取 BC的中点 E，连接 D， PE，易得 BDC 是等边三角形，所以 BCDE，又因为 PD平面 A，所以 ，又 E，所以 P面 ，在面 中，过 作 M于 ，即 是点 在平面 P内的正投影，则 BC，又 PE，所以 DBC面 ，经计算得 3D，在 RtDE 中，2PD， 437， 2317， 1247M，11442PBMPBVSD20. （1）抛物线上的点 M到
11、 y轴的距离等于 1F，点 到直线 1x的距离等于点 到交点 2的距离，得 x是抛物线 2yp的准线，即 1p解得 p，抛物线的方程为 4x；可知椭圆的右焦点 2(,0)F，左焦点 1(,0)F，由 52QF得 1Qx，又 2Qy，解得 3,6由椭圆的定义得 1275aF， a，又 1c，得 228bac，椭圆的方程为298xy（2）显然 0k， m，由 24kxmy，消去 x，得 240kym，- 9 -由题意知 160km，得 1k，由 298ykx，消去 y，得 22(98)970xkm，其中 2222(1)4()7)0km，化简得 28，又 ，得 890，解得 29设 1(,)Axy，
12、 2B(,)y，则 10208xk由 29km，得 0x 的取值范围是 (1,)21. （1）函数 fx的定义域为 0,1,U，2ln xfx，令lngx，则有 2xg，令 20，解得 1x，在 ,1上， g， 单调递增，在 1,上， 0gx， x单调递减又 0g， 0x在定义域上恒成立，即 f在定义域上恒成立， fx在 ,上单调递增，在 1,上单调递减（2）由 exfk在 ,上恒成立得：lnexk在 1,上恒成立整理得： ln10在 ,上恒成立令 lexhxk，易知，当 0k时， 0hx在 1,上恒成立不可能， 0k，又1exxk， 1ehk，（i）当时， 0，又1exhxk在 ,上单调递减
13、， 0在 ,上 恒成立，则 hx在 1,上单调 递减，又 1h， hx在 1,上恒成立- 10 -（ii）当10ek时， 1e0hk，1e0kh，又xhx在 ,上单调递减，存在 01,，使得 0hx，在 ,x上 ，在 ,上 0hx， h在 01,上单调递增，在 0,上单调递减，又 ， hx在 1,x上恒成立， 0hx在 1,上恒成立不可能综上所述，1ek22. （1）曲线 1C的普通方程为： 342yx，当 2k， Z时，曲线 2的普通方程为： tanx，当， 时，曲线 的普通方程为： 1；（或曲线 2C： 0sincosinyx）（2）将 2：1sit为 参 数代入 1C： 342yx化简整理得：sin36co90t，设 A， B对应的参数分别为 1t， 2， 126cosin3t， 129sin3t则 2236cosin340恒成立，21212112sin3Ptttt， 2sin0,， 3,4PAB23. （1）2,1,xf， 2x或12x或 2，- 11 - 1x，不等式解集为 1,；（2） 12xx， m，又14ab， 0， b， ab，125592a，当且仅当42b，即3时取等号，min9a
