1、- 1 -辽宁省辽河油田第二高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题：本大题 共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有以下四 个命题：若 ，则 .若 有意义,则 .1xyxlg0x若 ,则 .若 ,则 .则是真命题的序号为( )xy2yA B C D2. “ ”是 “ ”是的( )00xA充分而不必要条件 B必要而不充分 条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.抛物线： 的焦点坐标是（ ）2yA. B. C. D.)21,0( )0,1()41,0()0,41(4. 已知 i 是虚数单位，
2、则复数 的虚部是（ ）A. -1 B. 1 C. -i D. i5.若方程 C： （ 是常数）则下列结论正确的是（ ）2ayxA ，方程 C 表示椭圆 B ，方程 C 表示双曲线RRaC ，方程 C 表示椭圆 aD ，方程 C 表示抛物线6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， =（ ）A. B. C. D. 7.函数 （ 的最大值是（ ）3()4fxx0,1A1 B -1 C0 D 28过点 与抛物线 有且只有一个交点的直线有（ ）(0,)P2yx- 2 -A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条9由曲线 与 的边界所围成区域的面积为（ ）2yxA. B. C. D. 116323
3、10. 下列条件中使 与 、 、 一定共面的是( )MABCA B2O11532OMABOCC D C3131011已知函数 ，则 、 、 的大小关系（ ,sin)(xxfR)4(f1(f)3）A B )3(f)41(f)1(f3)(fC D 3412函数 ，若 的导函数 在 R 上是增函数，则实数2412)(axxf)(f)(xf的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 0000a二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13设复数 z=a+i（ a R， i 为虚数单位），若（1+ i） z 为纯虚数，则 a 的值为_14. 是过抛物线 焦点的弦，且 ,则 中点的横坐
4、标是_ _.ABxy4210AB15若直线 的方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则直线 与l1,2,1nl平面 所成角的正弦值等于_。16 已知函数 f(x) x24 x3ln x 在 t， t1上不单调，则 t 的取值范围是12_三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）已知椭圆 C: 上一点 到它的 两个焦点 （左）, （右）)2(,142ayaxP1F2的距离的和是 6，- 3 -（1）求椭圆 C 的离心率的值.（2）若 轴，且 在 轴上的射影为点 ，求点 的坐标.xPF2yQ18. （12 分）已知函数 的图象过点 P
5、（0，2） ，且在点dxbxf c)(23M（1， f（1） ）处的切线方程为 .076y（）求函数 的解析式； （）求函数 的单调区间.)(xfy )(xf19. （12 分） 设命题 是 的必要而不充分条件；设命题:pxm250x实数 满足方程 表示双曲线.:qm2211xy(1)若“ ”为真命题，求实数 的取值范围；p(2)若“ ”为假命题， “ ”为真命题，求实数 的取值范围.pqm20. （12 分）如图， PA平面 ABCD， AD/BC， ABC90， AB BC PA1， AD3 ， E 是PB 的中点（1）求证： AE平面 PBC；（2）求二面角 B PC D 的余弦值21
6、（12 分）已知函数 ).21(ln)(21)(2axaxf（1）若函数 在 处取得极值，求 a 的值.)(xf- 4 -（2）讨论函数 的单调性；)(xf22 （12 分）中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，渐近线方程为（ I）求双曲线 C 的方程；（ II）直线 l： y=kx-1 与双曲线 C 交于 P， Q 两点，试探究，是否存在以线段 PQ 为直径的圆过原点若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由- 5 -高二上学期期中考试数学（理）试题答案一、 选择题：(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)ABCBB DACBC CD二、 填空题（每题 5 分，满分 20
7、分）13. 1 14. 4 15. 16.233210， 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分）17.（10 分 ） （1） -2 分 3a-5 分 （2） -10 分5e )34,0(Q18.（12 分）解：（）由 的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以由在 处的切线方程是 ， 知故所求的解析式是 -6 分（）解得 当当故 的增区间是 和 ，减区间是 . -12 分19.（12 分）解：由 ，得250x52x命题 真时，则 ，得p,m- 6 -命题 假时， ，p52m命题 真时，得 ，解得 或 ，q101m2命题 假时， - 4 分（1）若“ ”为真命题，则 真 真，所以 ，
8、pqpq521或所以 或m52即实数 的取值范围为： - 8 分5,12,（2） 为假， 为真， 一真一假.pqpqpq、当 真 假时，则 ，所以 ；521m12m当 假 真时，则 ，所以 .pq2或 5综上可知，实数 的取值范围为： . - 12 分m1,220.（12 分）解：（1）证明：根据题意，建立如图所 示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， B(1，0，0)， C(1，1，0)， D(0，3，0)， P(0，0，1)， ， (0，1，0)， (1，0，1)因为 0， 0，所以 ， - 7 -所以 AE BC， AE BP因为 平面 PBC， 平面 PBC，且 BC BP B，所
9、以 AE平面 PBC - 6 分（2 ）设平面 PCD 的法向量为 ，则 ，因为 (1，2，0)， (0，3，1)，所以 x2 y0，3 y z0令 x2，则 y1， z3所以 是平 面 PCD 的一个法向量因为 AE平面 PBC，所以 是平面 PBC 的法向量所以由此可知 与 的夹角的余弦值为 根据图形可知，二面角 B PC D 的余弦值为 - 12 分21.（12 分）解：（1）由 得 或 （舍去）,0)2(,1)()( fxaf 1a2经检验， 时，函数 在 处取得极值- 6 分ax2（2） 的定义域为)(xf).,0(,)1)()(1 222 xaxaf 令 得 当 时，,0)(xf
10、.a或 1.0,且当 时，2a.0)(,21xf在定义域 上单调递增； )(xf),(当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 0xf,0a),1(a- 8 -当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减-210a)(xf,0a),1()1,(a- 12 分22.（12 分）解：（）设双曲线的方程为 - =1，（ a0， b0），则有c= ， = ， c2=a2+b2，得 a= ， b=1，所以双曲线方程为 2x2-y2=1- 6 分（）由 得（2- k2） x2+2kx-2=0，依题意有解得-2 k2 且 k ，且 x1+x2= ， x1x2= ，设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），依题意有 OP OQ，所以 =x1x2+y1y2=0，又 y1y2=（ kx1-1）（ kx2-1）= k2x1x2-k（ x1+x2）+1，所以 - +1=0，化简得 k=0，符合，所以存在这样的圆- 12 分
