1、1山东省泰安市 2019 届高三一轮复习质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.若集合 ， 0，1， ，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集概念求解即可。【详解】 集合 A 表示 到 0 的所有实数，集合 B 表示 5 个整数的集合，=1,0故选：C【点睛】本题主要考查了交集运算，属于基础题2.若复数 的实部与虚部互为相反数，则实数 (2)(+) =(A. 3 B. C. D. 13 13 3【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数 ，然后利用复数的实部与虚部的和为零，(2)(+)列方程求解即可.【详解】因为
2、,(2)(+)=2+2+1=2+1+(2)且复数 的实部与虚部互为相反数，(2)(+)所以， ，2+1+(2)=0解得 ，故选 D.=3【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失2分.3.某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成绩的中位数为 73，则 的值为 A. 2 B. C. 3
3、D. 2 3【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出 x、 y 的值【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班 5 名同学成绩的平均数为，解得 ；15(72+77+80+86+90)=81 =0又乙班 5 名同学的中位数为 73，则 ；=3=03=3故选： D【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题4.从抛物线 在第一象限内的一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，从且 ，2=4 |=4设抛物线的焦点为 ，则直线 的斜率为 A. B. C. D. 33 32 3 23【答案】C【解析】【分析】先设出 P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得
4、 P 点横坐标，代入抛物线方程求得 P 的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案【详解】解：设 ，(0,0)3依题意可知抛物线准线 ，=1， ，0=41=3 0=23， (3,23) (1,0)直线 PF 的斜率为 ， =2331=3故选： C【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义5.如图是一个算法流程图，若输入 的值是 13，输出 的值是 46，则 的取值范围是 A. B. C. D. 90,0,|5 ,则 (2019)A. 2 B. C. D. 326 276【答案】A【解析】【分析】利用已知推导出 ，由此能求出结果(2019)=(4)【详解】解： 函数
5、， ()=2(8),5(5),5 (2019)=(4)=24=2故选：A【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10.在 中，三边长分别为 ， ，最小角的余弦值为 ，则这个三角形的面 ,+2 +41314积为 A. B. C. D. 1543 154 2143 3543【答案】A【解析】【分析】设最小角为 ，故 对应的边长为 a，然后利用余弦定理化简求解即可得 a 的值，再由三角形面积公式求解即可【详解】设最小角为 ，故 对应的边长为 a，则 cos ，解得 a 3=(+4)2+(+2)222(+4)(+2) =2+12+2022+12+16=1314
6、最小角 的余弦值为 ，1314 =12=1(1314)2=3314 =12(+4)(+2)=12353314=1534故选： A【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题11.在直三棱柱 ， ， 分别是 ， 的中点，111 =90 , 11 11，则 与 所成角的余弦值为 =1=1 A. B. C. D. 110 22 25 30107【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系后写出点的坐标和向量的坐标，再利用空间向量的夹角公式即可求解【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则 0， ， 1， ， 0， ， ，(1, 0) (0, 0) (12, 1) (12,12,1)0，
7、 ， ，=(12, 1) =(12,12,1)， =|= 1212+114+0+114+14+1= 345262=3010故选：D【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题12.已知函数 有四个不同的零点 ， ， ， ，且 ，()=|221| 1 2 3 4 1022+120 22+12平方得 得 ，得 ，即 ，此时 为增函数，42+12 842+ 50,0) , 上一点，且 轴，过点 的直线与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴 交于点 ，若 为坐标原点，则双曲线 的离心率为_=2( 【答案】3【解析】【分析】根据条件分别求出直线 AE 和
8、 BN 的方程，求出 N， E 的坐标，利用 的关系建立|=2|方程进行求解即可【详解】解：因为 轴，所以设 ， (,)11则 ， ，(,0) (,0)AE 的斜率 ，=则 AE 的方程为 ，令 ，则 ，=(+) =0 =即 ，(0,)BN 的斜率为 ，则 BN 的方程为 ，+ = +()令 ，则 ，即 ，=0 =+ (0, +)因为 ，所以 ，|=2| 2|+|=|即 ，即 ，则离心率 2()=+ =3 =3故答案为：3【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点 N， E 的坐标是解决本题的关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知等差数列 满足
9、(1+2)+(2+3)+(+1)=2(+1)()求数列 的通项公式；(1) 数列 中， ， ，从数列 中取出第 项记为 ，若 是等比数列，求(2) 1=1 2=2 的前 项和 【答案】 （1） ；（2） =2131+24【解析】【分析】对 赋值为 ，可得： ， ，设等差数列的公差为 d，由(1) 1,2 1+2=4 1+2+2+3=12通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；12分别求得 ， ，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得 ，(2) 1 2 =12(1+31)再利用分组求和方法即可计算所求和【详解】 差数列 满足 ，(1) (1+2)+(2+3)+(+1)=2(
10、+1)()可得 ， ，1+2=4 1+2+2+3=12设等差数列的公差为 d，可得 ， ，21+=4 41+4=12解得 ， ，1=1 =2则 ；=1+2(1)=21由题意可得 ， ，(2) 1=1=1=1 2=2=2=3可得数列 的公比为 3， ， =31由 ，=21可得 ，=12(1+31)的前 n 项和 =12(1+3+31)+12=121313+12=31+24【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题18.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形， 底面 是菱形，且 =60证明
11、： ；(1) 求平面 与平面 所成二面角的大小(2) 【答案】 （1）证明见解析；（2） .45【解析】【分析】取 AD 的中点 E，连结 PE，BE，BD，推导出 ， ，从而 平面 PBE，由(1) 13此能证明 ，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，求出各点的坐标，(2) 再求出平面 PBC 的一个法向量 1， ，利用向量法即可求出平面 PAD 与平面 PBC 所成=(0, 1)二面角的大小【详解】证明： 取 AD 的中点 E，连结 PE， BE，BD，(1)四边形 ABCD 是菱形， ， =60是等边三角形， ， 同理，得 ，又 ， 平面 PBE， 平面 PBE
12、，= 平面 PBE，又 平面 PBE， 平面 平面 ABCD，(2) 由 可知 EA，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图，(1) 由题意得 ，=2则 0， ， ， ， 0， ，(0, 0) (0, 3,0) (2, 3,0) (0, 3)， ， ，=(0, 3,0) =(0, 3,3) =(2, 3,3)设平面 PBC 的一个法向量 y， ，=(, )由 ，取 ，得 1， ，=33=0=2+33=0 =1 =(0, 1)由 得 是平面 PAD 的一个法向量，(1) ， ， ，=|=22 ,=45平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小为 4514【点睛】本
13、题考查了线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ：22+22=1(0) =22 (22,32)求椭圆 的方程；(1) 过点 且不与 轴重合的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，过右焦(2) (2,0) (1,1) (2,2)点 的直线 分别交椭圆 于点 ，设 ， ,求 的取值范 , ,= =, +围【答案】 （1） （2）22+2=1 (6,10)【解析】【分析】由题意可得 ，解得 ， ，即可求出椭圆方程，(1)=22122+342=12=2+2 2=2 2=1设直线 l
14、 的斜率为 k， ， ， ，则 ，(2) (1,2) (2,2) (3,3)=(11,1)，分两种情况，求出直线 AG 的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数=(31,3)的关系的分析可得 范围，即可得答案+【详解】解： 由题意可得 ，解得 ， ，(1)=22122+342=12=2+2 2=2 2=1则椭圆方程为 ，22+2=1设直线 l 的斜率为 k， ， ， ，(2) (1,2) (2,2) (3,3)则 ， ，=(11,1) =(31,3)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，由 ，可得 ，= 1=3则 ，=13当 AM 与 x 轴不垂直时，直线 AM 的方程为 ，即 ，=11
15、1(1) =(11)+11代入曲线 C 的方程又 ，整理可得 ，22+2=1 (321)2+2(11)21=015，13=21321，=13=321当 AM 与 x 轴垂直时，A 点横坐标为 ， ，显然 也成立，1=1 =1 =321，同理可得 ，=321 =322设直线 l 的方程为 ， ，联立 ，=(+2) (0) =(+2)22+2=1 消去 y 整理得 ，(22+1)2+82+822=0由 ，解得 ，=(82)24(22+1)(822)0 00.5所以学生甲与学生乙适合结为“对子” 【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题21.已知 ，函数
16、 ，直线 0 ()= :=讨论 的图象与直线的交点个数；(1) ()若函数 的图象与直线 相交于 ， 两点 ，证明：(2) () := (1,1) (2,2) (11【答案】 （1）当 时， 无交点； 时， 有一个交点； 时，0218有两个交点；（ 2）证明见解析.()【解析】【分析】根据函数与方程的关系，设 ，求函数的导数，研究函数的单调性和极(1) ()=+值，结合极值与 0 的关系进行判断即可构造函数 ，求函数的导数，结合 与 l 的交点坐标，进行证明即可(2) () ()【详解】 由題意，令 ，(1) ()=+(0)则 ，()=令 ，解得 ()0 所以 在 上单调递增，() (,+)令
17、 ，解得 ，所以 在 上单调递减，()0 02 ()综上所述，当 时， 的图象与直线 l 无交点; 时, 的图象与直线 l 只02 ()证明：令 ，(2) ()=(+)()=2(0)，()=(+2)，+2=2，即 在 上单调递增，()0 () (0,+)，()(0)=0时， 恒成立，0 (+)()又 ，00，(+1)(+1)即 ，(21)(1)又 (1)=(2)19，(2)2在 上单调递增，=() (,+)即 21【点睛】本题考查了函数与方程的关系，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强，考查转化能力及计算能力，难度较大22.在直角坐标系 中，直线的
18、参数方程为 (为参数 曲线 的方程为 =2+32=23+12 ). 以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系22+2=0. 求直线的普通方程与曲线 的极坐标方程；(1) 直线 与 直线交于点 ，点 是曲线 上一点，求 面积的最大(2) ： +232=0 值【答案】 （1）直线 l 的普通方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为3+4=0 =2（2） =2+3【解析】【分析】用代入法消去 t 可得直线 l 的普通方程；利用 ， 代入可得曲线 C 的(1) = =极坐标方程；先求得 ，再利用 B 的极径求出三角形的面积，再求最值(2) (2,22)20【详解】解： 由 得 代入 整理得 ，(1)
19、 =2+32 =23(2) =23+12 3+4=0直线 l 的普通方程为 ， 3+4=0又 ， ，= 222+22=0，=2曲线 C 的极坐标方程为 ， =2由 得 ， ，(2) +232=03+4=0 =2=23 (2,23)设 ，则 ，(,) =2的面积 =12|=12|4(3)|，=|4(3)|=|2(2+6)+3|=2+3【点睛】此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及极坐标方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型.23.已知函数 ()=|+1|2|()当 时，求不等式 的解集；(1) =3 ()1当 时，不等式 恒成立，求 m 的取值范围(2) 1,2 ()13【解析】【分析】代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可；(1)问题转化为 恒成立，当 时， ，令(2) +1(2)2=122，求出 的最大值，求出 m 的范围即可()=122 ()【详解】解： 当 时， ，(1) =3 ()=|+1|3|2|由 ，()1得 或 或 ，1 12451 22+71解得： 或 ，32当 时， 成立，=2 02当 时， ，1,2) 2=122令 ，()=122，113【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题22
