1、1山东省日照市 2019 届高三数学 1 月联考试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.己知集合 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求解出集合 ，根据交集定义得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.复数满足 （为虚数单位） ，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数 z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得： ，=362+=(36)(2)(2+)(2)=1155 =153
2、据此可知，复数 z 的虚部为 .3本题选择 D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程3.右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重（单位： ）.记甲组数据的众数与中位数分别为 ，乙组灵气的众数与中位数分别为 ，则（ ）1,1 2,22A. B. 12,12 12,12 10 =(12) 3选项：函数定义域为 ，故函数为非奇非偶函数，故 错误； (0,+) 选项： ，函数为偶函数；当 时， ，此时 和 均为 ()2+2|=2+2| 0 =2+2 2 2增函数，所以整体为增函数，故 正确；选项： ，为非奇非偶函数，且在 上单调
3、递减，故 错误. =2=(12) (0,+) 本题正确选项： 【点睛】本题考查简单函数的奇偶性和单调性的判定，属于基础题.6.已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，则该2222=1(0,0) :2+26+5=0双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. =55 =255 =52=53【答案】B【解析】【分析】根据渐近线与圆相切，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出 ，从而得到渐近线方程.【详解】 可化为:2+26+5=0 :(3)2+2=4设双曲线的一条渐近线方程为 =0且双曲线 的渐近线与圆 相切=0 :(3)2+2=4所以圆心 到渐近线距离为(3,0) 2|32+2|=2 =255所以
4、双曲线的渐近线方程为 =255本题正确选项： 【点睛】本题考查直线与圆相切位置关系问题以及双曲线简单几何性质，属于基础题.7.一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为 2 的正三角形，则该几何体的体积为（ ）4A. 1 B. C. D. 333 3【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，利用体积公式直接求解即可.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知：主视图是边长为 的正三角形 ，平面 平面2 高是 ，其中 ， 平面3 =1 为直角三角形， =2=12=1所以 =13=33本题正确选项： 【点睛】本题考查三视图还原几何体、锥体体积的求解，关键在于能够准确还原几何体
5、，属于基础题.8.已知下列四个命题：“若 ”的逆否命题为“若 ”；2=0， 则 =0或 =1 0且 1， 则 20“ ”是“ ”的充分不必要条件；05命题 ，使得 ；:0 02+0+10 1) (,), +=【答案】4【解析】【分析】求解出 点的坐标，从而得到结果.【详解】当 时，=1 =3可知函数恒过 (1,3)则： +=4本题正确结果： 4【点睛】本题考查函数定点问题，关键是通过 的取值消除 的影响，属于基础题. 15.设 则 的最小值为_0,0,+=4,1+4【答案】94【解析】【分析】9由题意可知 ，利用基本不等式求得最小值.1+4=14(1+4)(+)=14(5+4)【详解】 +=4
6、 1+4=14(1+4)(+)=14(5+4)又 ， ，则 （当且仅当 时取等号）0 0+424=4 =4则1+414(5+4)=94本题正确结果：94【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.16.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列” ，斐波那契数列 满足： ， 1=1， ，记其前 项和为 ，设 （为常数） ，则2=1 =1+2(3,) 2018=_ （用表示）2016+201520142013=【答案】【解析】由题意可得 2016+201520142013=2016+2015+2015+
7、2014=2017+2016。=2018=答案：三、解答题：共 70 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列 是递增的等比数列，且 . 1+4=18,23=32（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 的通项公式 ，求数列 的前 项和 . =122+1 【答案】 （1） ；（2） .=2 +1【解析】【分析】（1）根据 和 求得 和 ，利用通项公式得到 ，从而可求解14=23=321+4=18 1 4 出通项公式；（2）由（1）得到 ，然后利用裂项相消法求出 . 【详解】 （1）由题意知 ，又14=23=32 1+4=18解得： 或 （舍去）1=24=16 1=164=210设
8、等比数列的公比为 ，由 ，可得 4=13=23=16 =2故 =11=2()（2）由题意知：= 122+1= 122+1= 1(+1)=11+1=1+2+.+=(112)+(1213)+.+(11+1)=11+1=+1【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、裂项相消法对数列求和，属于常规题.18.如图，在平面四边形 ABCD 中， ， =1,=7,=4,=120 =120(1)求 ；(2)求 【答案】(1) ；(2) .2114 33【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求解出结果；（2）利用两角和差公式求出 ，再利用余弦定理求解出结果.【详解】 （1）在 中， ， ， =1 =7 =120由正弦
9、定理得=120所以 =120=17 32=2114（2）在 中，由已知可知 是锐角，又 =2114所以 =1(2114)2=5714所以 =()=120+120=125714+32 2114=714在 中，由余弦定理可知：2=2+22=16+7247(714)=27所以 =3311【点睛】本题考查两角和差公式的应用、正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.19.如图 1，在直角 中， 分别为 的中点，连 =90,=43,=23, ,结 ，将 沿 折起，使平面 平面 ，如图 2 所示. （1）求证： ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）证明见解析；（2） .33【解析】【分析】（1）
10、利用面面垂直性质得到 平面 ，然后可得结论；（2）利用已知条件的数据求 得 面积和高 ，从而求得体积. 【详解】 （1）证明：由条件可知 ，而 为 的中点 = 又面 面 ，面 面 ，且 面 = 平面 ，又因为 平面 （2）由题给数据知 ， 为等边三角形，而 为 中点=6 因此 中， =60=3又底面 中 =23 =1263=33故三棱锥体积 =13333=33【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的求解问题，属于基础题.20.“水是生命之源” ，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的 ，全世界2.8%近 人口受到水荒的威胁.某市为了鼓励居民节约
11、用水，计划调整居民生活用水收费方案，80%拟确定一个合理的月用水量标准 (吨)：一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费， 12超出 的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 分成 9 组，制成了如图所示0,0.5), 0.5,1),.,4,4.5)的频率分布直方图(1)求直方图中 的值；(2)设该市有 60 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 2.5 吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使 的居民每月的用水不按议价收费，估计 的值，并说明理由82% 【答案】(1) ；(2) 万；(3) 吨.0.3 16.2
12、 2.8【解析】【分析】（1）通过频率之和为 ，构造方程求得结果；（2）计算出样本中不低于 吨人数占比，1 2.5从而求得全市的人数；（3）由频率分布直方图频率分布可知 ，然后根据平均分2.50) 2+2=222+2物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，且椭圆 短轴的一个端点和其两个焦点构成直2=4 角三角形(1)求椭圆 的方程和“相关圆” 的方程； (2)过“相关圆” 上任意一点 的直线 与椭圆 交于 两点 为坐标原点， :=+ , 若 ，证明原点 到直线 的距离是定值，并求 的取值范围. 【答案】 （1）椭圆 的方程为 ， “相关圆” 的方程为 ；（2） 或22+2=1 2+2=23 63.
13、63【解析】【分析】（1）由已知条件计算出椭圆 的方程和“相关圆” 的方程 （2）直线与椭圆相交，联立方程组，由 求出 之间关系，然后再表示出点到 、 线的距离公式，即可求出结果【详解】解：（1）因为若抛物线 的焦点为 与椭圆 的一个焦点重合，所以2=4 (0,1) ，又因为椭圆 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 ，=1 =1故椭圆 的方程为 ， “相关圆” 的方程为22+2=1 2+2=23（2）设 ，(1,1),(2,2)联立方程组 得 ，=+22+2=1 (2+2)2+2+22=0，=4224(2+2)(22)=4(2222+4)0即 22+20，1+2=22+212=22
14、2+2 12=(1+)(2+)=212+(1+2)+2=2(22)2+22222+2+2=22222+2由条件 得 , 32222=014所以原点 到直线的距离是 ， =|1+2= 21+2由 得 为定值32222=0 =63又圆心到直线的距离为 ，直线与圆有公共点 ，满足条件63 由 ，即 ， 即0 22+203222 2+20 2+20又 ，即 ，所以 ，即 或2=3222 0 322 223 63 63综上， 或63 63【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，在计算过程中还要掌握点到线的距离公式，较为综合，需要熟练计算，并且能掌握解题方法22.已知函数 ( ， 为自然对数的底数)()=(
15、2+) (1)若 ，求函数 的极值；=2,=2 ()(2)若 是函数 的一个极值点，试求出 关于 的关系式 (用 表示 )，并确定 的单=1 () ()调区间；(3)在(2)的条件下，设 ，函数 若存在 使得0 ()=(2+14)+4 1,20,4成立，求 的取值范围|(1)(2)|4 (,3) (1,+) (3,1)1120 (4,0) ()0（或列表）4 分当 时，函数 有极大值， ，=4 () ()极 大 64当 时，函数 有极小值， .-5 分=0 () ()极 小 =215（2）由（1）知 是函数 的一个极值点 ()=2+(2+)+(+) =1 ()即 ，解得 -6 分(1)=0 1
16、+(2+)+(+)=0 =32则 KS*5U.C#O%下标()=2+(2+)+(3) (1)+(3+)令 ，得 或()=0 1=1 2=3 是极值点， ，即 -7 分=1 31 4当 即 时，由 得 或31 0 (3,+) (,1)由 得 -8 分()4 ()0 (1,+) (,3)由 得 -9 分()4 (,3) (1,+) (3,1)（3）由（2）知，当 a0 时， 在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调()递增， KS*5U.C#O%下标函数 在区间 上的最小值为 又 ，() 0,4 (1)=(+2) (0)=(2+3) 0 () (1),(4)-11 分又 在区间0，4上是增函数，(+2),(2+13)4 ()=(2+14)+4且它在区间0，4上的值域是 -12 分 (2+14)4,(2+14)8 (2+14)4 ，存在 使得 成(2+13)4 (22+1)4 (1)240 1,20,4 |(1)(2)|1立只须仅须 1 .-14 分16
