1、1山东师范大学附属中学 2019 届高三第四次模拟数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【详解】集合 ， ，则，故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.设复数 是虚数单位，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案=1+1+1【详解】 ，=1+1+1=11+1(1+)=2= (2+)(2+)(2)=15+25故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题
2、3.命题 ， 的否定是 2+1A. ， B. ， 2+1 2+1C. ， D. ， 2+0 ()=3(+1) (8)=(A. 2 B. 1 C. D. 1 24【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得 的值，结合函数的奇偶性可得 的值，则有(8) (8)，结合函数的解析式计算可得答案(8)=(2)=(2)【详解】根据题意，当 时， ，则 ，0 ()=3(+1) (8)=39=2又由函数为奇函数，则 ，(8)=(8)=2，(8)=(2)=(2)=3(2+1)=1故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数值的计算，关键掌握函数奇偶性的定义，属于基础题8.定义运算： ，将函数 的图象向
3、左平移 个|1 23 4|=1423 ()=| 3 1 |(0) 23单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 14 54 74 34【答案】B【解析】函数 （ ） ， 的图象向左平移()=|31 | =3=2(+6) 0 ()个单位，所得图象对应的函数为 ；又23 =2（ +23） +6=2（ +23+6）函数 为偶函数， ， ，解得 ， ；当 时， 取得最小值23+6= =3214 =1 是 ，故选 B.549.已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ， =2则该三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 83 433 43 163【答案
4、】D【解析】分析：说明 S 在底面上的射影是 AB 的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积5详解：由题意，点 S 在底面上的射影 D 是 AB 的中点，是三角形 ABC 的外心，令球心为 O，如图在直角三角形 ODC 中，由于 AD=1，SD= = ，41 3则（ R） 2+12=R2，3解得 R= ，则 S 球 =4R 2=23 163故选：A点睛：设几何体底面外接圆半径为 ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为 ;长方体的外接球球心是其体对角线中点 .
5、找几何体外, 2+2+2接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 ，则其外接球半径公式为: ., 42=2+2+210.函数 的图象大致是 ()=|A. B. C. D. 6【答案】A【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除 B，C，根据函数值的符号即可排除 D【详解】 ，()=()|=|=()函数 为奇函数， ()函数 的图象关于原点对称，故排除 B，C， ()当 时， ， ，+ 11 |+单调性是增减交替出现的，故排除， D，()故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题11.
6、已知抛物线 上一点 到焦点 的距离与其到对称轴的距离之比为 5：4，且:2=4 ，则 点到原点的距离为（ ）|2 A. 3 B. C. 4 D. 42 43【答案】B【解析】试题分析：设 ，则 ，所以 ，到(,)+1=5424+1=54=4或 =1（ 舍 2） (4,4)原点的距离为 ，选 B42考点：抛物线定义【方法点睛】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点 的坐标2若 P（x 0，y 0）为抛物线 y22px（p0）上一点，由定义易得|PF|x 0 ；若过焦点2的弦 AB 的端点坐标为 A（x 1，y 1） ，B
7、（x 2，y 2） ，则弦长为|AB|x 1x 2p，x 1x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12.已知直线 与圆 交于不同的两点 A，B，O 是坐标原点，且+=0(0) 2+2=4有 ，那么 k 的取值范围是 2A. B. 2 C. D. 2(3,+) 2, 2) 2,+) 3,2)7【答案】B【解析】【分析】根据题意，设圆心到直线 的距离为 d；由直线与圆相交的性质可得+=0，则有 ；设 与 的夹角即 ，由数量积的计算公式可得=|1+1=20) 2+2=4 =|1+1=20)B，F 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则双曲线
8、 C 离心率的取值范围 = (12,4)是_【答案】 (2,+)【解析】【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ， ，可得四边形 为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围【详解】解：设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，可得四边形 为矩形，设 ， ，即有 ，|=|=且 ， ，2+2=42 =210，=2=22=4242= 2+222+2= 1122+2= 112+，= 11 2+1由 ，可得 ，(12,4) =(2 3,1)则 ，可得 ，+1(2,4) 2+1(12,1)即有 ，1 2+1(0,12)则 ，11 2+1(2,+)即有 (2,+)故答案为： (2,+
9、)【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知 ，设 .=( 3,),=(,), ()=（1）求 的解析式及单调递增区间；()（2）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的面 , , =1,+=2,()=1 积.【答案】(1)答案见解析；(2) .34【解析】试题分析：（1）利用数量积的坐标运算可以得到 ，再逆用二()=3+2倍角公式和两角和的正弦得到 ，最后令()=(2+6)+1211解出 的范围即为 的单调递增区间.（2）根据 可以2+22+62+2 (
10、) ()=1得到 ，再用余弦定理求出 ，故面积为 .=3 =1 34解析：（1）因为 ，令()=3+2 =322+1+22 =(2+6)+12，解得 ，所以 的单调递增区间2+22+62+2 3+6+,() ()为 .3+,6+()（2）由 可得 ，又 ，所以 ，()=(2+6)+12=1 (2+6)=12 (0,) 2+6(6,136)，解得 .由余弦定理可知2+6=56 =3，所以 ，故 ，所以2=2+22=(+)22(1+) 1=4232 =1. =12=3418.数列 的前 项和为 ，已知 ， 成等比数列. +1=+2 1,2,5（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ， 求数列
11、 的前 项和 .=( 2)1+ 【答案】 (1) 2n1；（ 2） Tn=6+(2n3) 2+1【解析】试题分析：（1）因为 ，变形后为 也即是 ，+1=+2 +1=+2 +1=2所以 是一个等差数列且公差为 2，再利用 成等比数列可以得到 ，所以 1,2,5 1=1的通项为 .（2）计算可得 ，它是等差数列和等比数列的乘积， =21 =(21)2用错位相减法求其前 项和.解析：（1）因为 ，所以 ，故数列 是公差+1=+2 +1=+1=+2 为 的等差数列；又 成等比数列，所以2 1,2,5，解得 ，故1(1+4)=(1+)21(1+8)=(1+2)2 1=1.=1+2(1)=21()（2）
12、由（1）可得： ，故=(21) 22=(21)2=1+2+3+1+12，=121+322+523+(23)21+(21)2又 ，2=122+323+524+(23)2+(21)2+1由错位相减法得： =2+2(22+23+2)(21)2+1=2+24(121)12 (21)2+1，=2+2+28(21)2+1=6(23)2+1整理得： .=(23)2+1+619.四边形 是菱形, 是矩形, , 平 面 平 面 =2=2,=600是 的中点 （I）证明: （II）求二面角 的余弦值.【答案】 （I）略；（II）64【解析】试题分析：（I）利用中点的性质进行分析即可；（II）以 为原点， 所在直线
13、为 x 轴， 所在直线为 Y 轴， 所在直线为 Z 轴 建立空间直角坐标系，通过向量有关知识进行计 算即可.试题解析：（I） 证法一: 设 , 的中点为 ，因为 是 的中点，= /,=12=是平行四边形 /平 面 ,平 面 13/平 面 证法二：因为 是 的中点， 2=+=+=/平 面 ,平 面 ；/平 面 （II）设 的中点为 ， 是矩形， ， ，四边形 是菱形， 以 为原点， 所在直线为 x 轴， 所在直线为 Y 轴， 所在直线为 Z 轴 建立空间直角 坐标系，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为令 ，14设二面角 的大小为则考点：空间向量在立体几何中的应用【方法点睛】利用法向量求二面角时
14、应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误20.如图，设椭圆 ： ，长轴的右端点与抛物线 ： 的焦点 重122+22=1(0) 2 2=8 合，且椭圆 的离心率是 132（）求椭圆 的标准方程；1（）过 作直线交抛物线 于 ， 两点，过 且与直线垂直的直线交椭圆 于另一点 ， 2 1 求 面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程15【答案】 （） ; （） 面积的最小值为 9， .24+2=1 =52+2【解析】试题分析：（）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的 ，再由离心率可求得，从而得 值，得标准方
15、程；（）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线方程为 ，设=+2，把直线方程代入抛物线方程，化为 的一元二次方程，由韦达定理得(1,1),(2,2) ，由弦长公式得 ，同样过 与直线垂直的直线方程为 ，同样1+2,12 | =(2)代入椭圆方程，利用韦达定理得 ，其中 ， 是 点的横坐标，于是可得1+2,12 1=2 2 ，这样就可用 表示出 的面积， ，接着可设 ，用换| =16(1+2)1+242+1 1+2=元法把 表示为的函数，利用导数的知识可求得最大值.试题解析：（）椭圆 ： ，长轴的右端点与抛物线 ： 的焦点 重合，122+22=1(0) 2 2=8 ，=2又椭圆 的
16、离心率是 ， ， ，132 =3 =1椭圆 的标准方程为 124+2=1（）过点 的直线的方程设为 ，设 ， ，(2,0) =+2 (1,1) (2,2)联立 得 ，=+2,2=8, 2816=0 ， ，1+2=8 12=16 |=1+2(1+2)2412=8(1+2)过 且与直线垂直的直线设为 ， =(2)联立 得 ，=(2),24+2=1, (1+42)2162+1624=0 ，故 ，+2=1621+42 =2(421)42+1 ，|=1+2|= 442+1 1+2面积 =12|=16(1+2)42+1 1+216令 ，则 ， ，1+2= =()=163423 ()=16(4492)(42
17、3)2令 ，则 ，即 时， 面积最小，()=0 2=94 1+2=94 即当 时， 面积的最小值为 9，=52 此时直线的方程为 =52+221.已知函数 （其中 为自然对数的底数） .()=2+1,()= （1）若 ,求函数 在区间 上的最大值；=1 =()() 2,0（2）若 ,关于 的方程 有且仅有一个根, 求实数 的取值范围；=1 ()=() （3）若对任意 ,不等式 均成立, 求实数1,20,2,12 |(1)(2)|0 0 ()=|（1）求 的值；+（2）设函数 ，若对于 均有 ，求 的取值范围()=2 ()0 1219又因为 ，所以 10 分,0,+=3123【考点】1绝对值不等式的性质；2函数与不等式20
