1、1专题 51 不等式 基本不等式 1【考点讲解】一、具本目标：基本不等式： .（1） 了解基本不等式的证明过程.（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用二、知识概述：基本不等式1.如果 ,Rab，那么 （当且仅当 ab时取等号“=” ）.推论： （ ,Rab）.2.如果 0a， ,则 ， （当且仅 当 ab时取等号“=” ）.推论： （ 0
2、a， b） ； .3. .【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式 是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一 个数或加上一个数， “1”的代换法等2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解注意：形如 y x (a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取
3、不到，再利用该函数的单调ax性求解 3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件 “一正”是说每个项都必须为2正值， “二定”是说各个项的和(或积)必须为定值 “三相等”是说各项的值相等时，等号成立（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.4.利用均值不等式求最值要灵活运用两
4、个公式， （1） ，当且仅当 ab时取等号；（2） ,abR ， ，当且仅当 ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用”求最值.常见题型：1.利用基本不等式证明：已知 、 、 c都 是正数，求证： 2.利用基本不等式求最值：（1）已知 5,4x求函数 的最小值；拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值.【解析】 （1）由 .,当且仅当 ,即 32x时,函数取得最小值 5.3（2）已知 103x,求函数 的最大值.【解析】由 得 ,当且仅当 31x,即 16x时,函数取得最大值 12.【真题分析
5、】1.【2017 山东，文】若直线 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为 .【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线 过点（1,2）可得 12ab,所以 .当且仅当 b2时等号成立.【答案】 82.【2017 天津，理 12 文 13】若 ,abR， 0，则41ab的最小值为_.【答案】 43.【2019 优选题】若正数 x， y 满足 x3 y5 xy，则 3x4 y 的最小值是_【解析】本题考点是基本不等式的运用.(1)方法一 由 x3 y5 xy 可得 1，15y 35x3 x4 y(3 x4 y)( ) 5.15y 35x 95 45 3x5y 12y5x 135 1254当
6、且仅当 ，即 x1， y 时，等号成 立，3x5y 12y5x 123 x4 y 的最小值是 5.方法二 由 x3 y5 xy 得 x ，3y5y 1 x0， y0， y ，153 x4 y 4 y 4 y 4( y ) 2 5，9y5y 1 13 y 15 95 45 4y5y 1 135 9515y 15 15 135 3625当且仅当 y 时等号成立，(3 x4 y)min5.12【答案】54.【优选题】已知 x， y(0，)，2 x3 ( )y，若 (m0)的最小值为 3，则 m_.12 1x my【答案】5.【2015 高考四川，理 9】如果函数 在区间 12， 上单调递减，则 mn
7、 的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D） 812【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用. 2m时，抛物线的对称轴为 82nxm.据题意，当 时，抛物线的开口向上，根据题意可得 82n即 12mn. .由 2且 得 3,6.当 2m时，抛物线开口向下，据题意得， 81n即 28n.5.由 2nm且 218n得 92，故应舍去.要使得 mn取得最大值，应有 218mn.所以 ，所以最大值为 18.选 B【答案】B6.【2016 优选题】已知直线 ax by c10( b， c0)经过圆 x2 y22 y50 的圆心，则 的最小值4b 1c是( ) A9 B8 C4 D
8、2【答案】 A7.【2016 优选题】设等差数列 an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1 d1，则 的最小值是Sn 8an_【解析】本题考点是数列与基本不等式的综合应用问题.因数数列 an为等差数列，所以通项与和分别为：an a1( n1) d n， Sn ，n 1 n2 (n 1) (2 1) ，Sn 8an n 1 n2 8n 12 16n 12 n16n 92当且仅当 n4 时取等号 的最小值是 . Sn 8an 92【答案】928.【2017 优选题】 若直线 （ 0,ab）始终平分圆 的周长，则12ab的最小值为 .【解析】本题考点是圆与基本不等式的综合应用.直线平分圆周
9、，则直线过圆心 1,，所以有（当且仅当62ba时取“=” ）.【答案】 349. 【2017 优选题】 若两个正实数 ,xy满足 ，且 恒成立，则实数m的取值范围是 .【答案】 2,810.已知 x,y 均为正数,且 xy,求证: . 【解析】本题考点是基本不等式的具体应用，注意拚凑法的应用.因为 x0,y0,x y0, = , 所以 【模拟考场】1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为( )A. 8 B. 9 C. 12 D. 167【答案】B2.设 0,1ab，若 的最小值为（ ）A. 23 B.8 C.43 D.423【答案】D3. 已知函数 ，若 且 ，则 ab的取值范围是（ ）A10,2
10、B10,2C10,4D10,4【解析】由已知得： ，所以 .注意，因为 ab，所以不能取等号.选 D.【答案】D4.下列函数中，最小值为 2 的是（ ）A. 1yx B. C. D. 【解析】当 0x 时 ，当 01x 时 ， 2，当且仅当 时取等号，由于 无解，8所以 2； ，当且仅当 x1时取等号，所以选 D. 【答案】D5.若两个正实数 ,xy满足 12，且不等式 有解，则实数 m的取值范围是（ ）A. 1,2 B. C. D. 【答案】C6. 已知 ，则 的最小值为 ( )A. 4 B. 8 C. 9 D. 6【解析】 = ,当且仅当成立时，等号成立，即 。选 B.【答案】B7.设 1
11、x，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 9 C. 7 D. 139【答案】B8.设正实数 x， y， z 满足 x23 xy4 y2 z0，则当 取得最大值时， 的最大值是( )xyz 2x 1y 2zA0 B1 C. D394【解析】 1，当且仅当 x2 y 时等号成立，xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3 14 3此时 z2 y2， ，当且仅当 y1 时等号成立，故所求的最大值为2x 1y 2z 1y2 2y1.【答案】B9.若直线 mx+ny+2=0（ m0， n0）截得圆 的弦长为 2，则 13mn 的最小值为（ ）A. 4 B. 6 C. 12 D. 16【解析】圆心坐标为 3,1，半径为 1，又直线截圆得弦长为 2，所以直线过圆心，即 ，32mn，所以 6，当且仅当 9时取等号，因此最小值为 6，故选 B【答案】B10.对于使 fxM成立的所有常数 中，我们把 M的最小值叫做 fx的上确界，若正 数 ,abR且101ab，则 2ab的上确界为（ ）A. 9 B. 9 C. 14 D. -4【解析】 ,当且仅当 2ba 时取等号,因此 12ab的上确界为 92,选 A.【答案】A11.已知正数 ,xy满足 ，则 3xy的最小值为_.【答案】2512.设 ,abc均为正数,且 1abc,证明:证明：由得 . 由题设得 ,即 . 所以 ,即 . 11
