1、1专题 37 数列 等差数列 2【考点讲解】一、具本目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4） 了解等差数列与一次函数的关系.二、知识概述：一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示.用递推公式表示为或 .2.等差数列的通项公式： ； .说明：等差数列（通常可称为 AP数列）的单调性： d0为递增数列， 0
2、d为常数列， 0d 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果 a， ， b成等差数列，那么 叫做 a与 b的等差中项,其中 2abA .， A， 成等差数列 2abA.4.等差数列的前 n和的求和公式： .5.要注意概念中的“从第 2 项起” 如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别二）方法规律：1等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列 na，若 nN(常数)，则数列 na是等差数列；(2) 等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列;2(3)通项公式：
3、 napq( ,为常数, nN) na是等差数列;(4)前 项 和公式： ( ,AB为常数, ) n是等差数列;(5) na是等差数列 nS是等差数列. 【答案】 20.2.等差数列 an的前 10 项和为 30，则 a1+a4+a7+a10 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式即可得到 a1+a106由等差数列的性质可得 a1+a10 a4+a7，进而可得答案【答案】123.在等差数列 na中， 71，公差为 d，前 n项和为 nS，当且仅当 8时 nS取最大值，则 d的取值范围_.【解析】由题意得： ，所以 ，即 所以.【答案】 7(1,)84.等差数列 na中，已知 5S， 25na，
4、 60nS，则 【解析】由 53S 得 31，于是 ，又 60n 2。【答案】205设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a4， a6是方程 x28 x+50 的两根，那么 S9（ ）A8 B36 C45 D72【分析】由 a4， a6是方程 x28 x+50 的两根，得 a4+a68，从而 由此能求出结果3【解析】因为等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a4， a6是方程 x28 x+50 的两根，所以 a4+a68，所以 【答案】B6等差数列 an中，已知 a70， a2+a100，则 an的前 n 项和 Sn的最小值为（ ）A S4 B S5 C S6 D S7【分析】由等差数
5、列通项公式推导出 a70， a60，由此能求出 an的前 n 项和 Sn的最小值【解析】因为等差数列 an中，已知 a70， a2+a100，所以 a2+a102 a60，即 a60，所以 an的前 n 项和 Sn的最小值为 S6【答案】C7.等差数列 n和 b的前 n 项和分别为 n和 T，且 231n，则 5ab等于（ ） A 23 B 79 C 2031 D 94【解析】由 =912ab= ，选 D.【答案】D8已知等差数列 an前 n 项和为 ，则下列一定成立的是（ ）A a0 B a0 C c0 D c0【分析】由等差数列 an前 n 项和为 ，求出前三项，由等差数列 an中，2a2
6、 a1+a3，能求出结果【答案】D9.已知等差数列 na的前 n 项和为 Sn，若 m1，且 ，则 m 等于（ ）A38 B20 C10 D9【解析】因为 ，所以有 2ma，由 138mS知 0ma，所以 2ma.4，所以有 10m，选 C.【答案】C10首项为正数，公差不为 0 的等差数列 an，其前 n 项和为 Sn，现有下列 4 个命题，其中正确的命题的个数是（ ）若 S100，则 S2+S80；若 S4 S12，则使 Sn0 的最大的 n 为 15；若 S150， S160，则 Sn中 S8最大；若 S7 S8，则 S8 S9A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据题意，由等
7、差数列的性质分析 4 个式子，综合即可得答案本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力【答案】B11.已知一个数列 na的前 项和为 nS， 并且 。（1） 证明数列 为等差数列（2） 并求出当 为何值时，数列有最大或最小值，并求出此值【解析】证明：（1）由 得 13aS， ，当 2n两式相减整理得： 当 1时， 35所以 69na()N再由： 得 =63n两式相减得： 所以原数列为首项为-3，公差为 6 的等差数列.（3） 将当 1n时， nS有最小值是-312. nS为等差数列 a的前 项和，且 记 =lgnba，其中 x表示不超过 x的最大整数，如 （）求 110b， ， ；（）求数列 n的前 1 000 项和【解析】 （）设 na的公差为 d，据已知有 7218d，解得 1.d所以 na的通项公式为 .na（）因为所以数列 nb的前 10项和为【答案】 （） ， ， 102b；（）1893.6
