1、118.2.2 菱 形第 1 课时 菱形的性质1.(2018 岱岳期中)如图,在菱形 ABCD 中,M,N 分别在 AB,CD 上,且 AM=CN,MN 与 AC 交于点 O,连接 BO.若DAC=31,则OBC 的度数为( C )(A)31 (B)49 (C)59 (D)692.(2018 义乌模拟)如图,四边形 ABCD 是菱形,过点 A 作 BD 的平行 线交 CD 的延长线于点 E,则下列式子不成立的是( A )(A)BD=CE (B)DA=DE(C) EAC=90 (D)ABC=2E3.(2018 泸州模拟)如图,已知菱形 ABCD 对角线 AC,BD 的长分别为6 cm,8 cm,
2、AEBC 于点 E,则 AE 的长是( C )(A)5 (B)2 (C) (D)4.(2018 山西模拟)如图所示,在菱形 ABCD 中,A=60,AB=2,E ,F 两点分别从 A,B 两点同时出发,以相同的速度分别向终点 B,C 移动,连接 EF,在移动的过程中,EF 的最小值为( D )(A)1 (B) (C) (D) 35.已知一个菱形的周长为 24 cm,有一个内角为 60,则这个菱形较短的一条对角线长为 6 cm . 6.如图 ,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为 60的菱形,剪口与折痕所成的角 的度数应为 30或 60 . 2第 6 题图7.(2018
3、 吉林模拟)如图,四边形 ABCD 是菱形,点 A,B,C,D 的坐标分别是(m,0),(0,n),(1,0),(0,2),则 mn= 2 . 第 7 题图8.(2018 苏州期中)如图,点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点,CEBD,EBAC,连接 OE.(1)求证:OE=CB;(2)如果 OCOB=12,CD= ,求菱形的面积.5(1)证明:因为 CEBD,EBAC,所以四边形 OCEB 是平行四边形,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ACBD.即四边形 OCEB 是矩形,所以 OE=CB.(2)解:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 BC=CD= ,ACBD,OC=OA,OB=OD,
4、5在 RtBOC 中,OCOB=12,由勾股定理得 BC2=OC2+OB2,设 OC=x,则 OB=2x,即 x2+(2x)2=( )2,解得 x=1,所以 OC=1,OB=2,所以 AC=2OC=21=2,BD=2OB=22=4,所以菱形 ABCD 的面积为 BDAC= 42=4.9.如图,四边形 ABCD 是菱形,CEAB 交 AB 的 延长线于点 E,CFAD 交 AD 的延长线于点 F,求证:DF=BE.证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以ADC=ABC,CD=CB,所以CDF=CBE,因为 CEAB,CFAD,所以CFD=CEB=90.在CDF 与CBE 中,3所以CDFCBE(
5、AAS),所 以 DF=BE.10.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E.(1)证明:四边形 ACDE 是平行四边形;(2)若 AC=8,BD=6,求ADE 的周长.(1)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ABCD,ACBD,所以 AECD,AOB=90,因为 DEBD,所以EDB=90,所以AOB=EDB,所以 DEAC,所以四边形 ACDE 是平行四边形.(2)解:因为四边形 ABCD 是菱形,AC=8,BD=6,所以 AO= AC= 8=4,DO= BD= 6=3,AD=CD,在 RtAOD 中,
6、 根据勾股定理,AD= = =5,2+2因为四边形 ACDE 是平行四边形,所以 AE=CD=AD=5,DE=AC=8,所以ADE 的周长为 AD+AE+DE=5+5+8=18.11.(拓展探究题)在ABCD 中,E 为 BC 边的中点,连接 DE 并延长,交 AB 边的延长线于点 F.(1)如图 1,求证:BF=AB;(2)如图 2,G 是 AB 边的中点,连 接 DG 并延长,交 CB 边的延长线于点 H,若四边形 ABCD 为菱形,试判断H 与F 的大小关系,并证明你的结论.(1)证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 DC=AB,DCAB,所以C=EBF,CDE=F.因为 E 是 CB 的中点,所以 CE=BE.在CD E 和BFE 中CDE=F,C=EBF,EC=BE,4所以CDEBFE,所以 BF=DC,所以 BF=AB.(2)解:F=H.证明如下:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AD=DC=CB=AB,A=C,ADCB,DCAB,所以ADG=H,CDE=F.因为 E,G 分别是 CB,AB 的中点,所以 AG=CE.在ADG 和CDE 中AG=CE,A=C,AD=CD,所以ADGCDE,所以CDE= ADG,所以H=F.5
