1、119.3 正方形1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C )(A)对角线相等(B)对角线互相垂直(C)对角线互相平分(D)对角线平分一组对角2.下列命题错误的是( C )(A)对角线 互相平分的四边形是平行四边形(B)对角线相等的平行四边形是矩形(C)一条对角线平分一组对角的四边形是菱形(D)对角线互相垂直的矩形是正方形3.已知四边形 ABCD 中,A=B=C=D,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( D )(A)D=90 (B)AB=CD(C)AD=BC (D)BC=CD4.如图,把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 MN,再过点 B
2、 折叠纸片,使点 A 落在 MN 上的点 F 处,折痕为 BE.若 AB 的长为 2,则 FM 的长为( B )(A)2 (B) (C) (D)13 25.能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 AC=BD 且 ACBD(答案不唯一) (填上一个条件即可). 6.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若不增加任 何字母与辅助线,要使四边形 ABCD 是正方形,则还需增加一个条件是 AC=BD 或(ABBC)(答案不唯一) . 7.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 在 AB 边上.四边形 EFGB 也为正方形,则AFC 的面积
3、为 2 . 8.(2018 武汉)以正方形 ABCD 的边 AD 作等边ADE,则BEC 的度数2是 30或 150 . 9.已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A,C 两点作 l1l 2,作 BMl 1于 M,DNl 1于N,直线 MB,DN 分别交 l2于 Q,P 点.求证:四边形 PQMN 是正方形.证明:因为 PNl 1,QMl 1,所以 PNQM,PNM=90.因为 PQNM,所以四边形 PQMN 是矩形.因为四边形 ABCD 是正方形,所以BAD=ADC=90,AB=AD=DC.所以1+2=9 0.又3+2=90,所以1=3.所以ABMDAN.所以 AM=DN.同理
4、AN=DP.所以 AM+AN=DN+DP,即 MN=PN.所以 四边形 PQMN 是正方形.10.已知:如图,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=CD,E 是对角线 BD 上一点,且 EA=EC.(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;(2)如果 BE=BC,且CBEBCE=23,求证:四边形 ABCD 是正方形.证明:(1)在ADE 与CDE 中,所以ADECDE(S.S.S.),所以ADE=CDE,因为 ADBC,所以ADE=CBD,所 以CDE=CBD,所以 BC=CD,因为 AD=CD,所以 BC=AD,所以四边形 ABCD 为平行四边形,3因为 AD=CD,所以四边形 ABCD 是菱
5、形.(2)因为 BE=BC,所以BCE=BEC,因为CBEBCE=23,所以CBE=180 =45,因为四边形 ABCD 是菱形,所以ABE=45,所以ABC=90,所以四边形 ABCD 是正方形.11.(开放探究题)已知,如图,在ABC 中,AB=AC,ADBC,垂足为点 D,AN 是ABC 外角CAM的平分线,CEAN,垂足为点 E.(1)求证:四边形 ADCE 为矩形;(2)当ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形?并说明理由.(1)证明:因为 AD,AN 分别是BAC 的内角、外角平分线,所 以BAD=CAD,CAE=MAE.因为BAD+CAD+CAE+MAE=180.
6、所以 2CAD+2CAE=180.所以CAD+CAE=90,即DAE=90,因为 ADBC,CEAN,所以ADC=AEC=DAE=90,所以四边形 ADCE 是矩形.(2)解:当ABC 是以BAC 为直角的等腰直角三角形时,四边形 ADCE 是正方形.理由如下:因为ABC 是以BAC 为直角的等腰直角三角形,ADBC,所以CAD=BAD=45.ACD=45.所以CAD=ACD=45.所以 AD=CD.因为四边形 ADCE 是矩形,所以四边形 ADCE 是正方形.12.(拓展探究题)如图,四边形 ABCD,DEFG 都 是正方形,连结 AE,CG.(1)求证:AE=CG;4(2)观察图形,猜想 AE 与 CG 之间的位置关系,并证明你的猜想.(1)证明:因为 AD=CD,DE=DG,ADC=GDE=90,又CDG=90+ADG=ADE,所以ADE CDG.所以 AE=CG.(2)解:猜想:AECG.证明:如图,设 AE 与 CG 交点为 M,AD 与 CG 交点为 N.由(1)得ADECDG,所以DAE=DCG.又因为ANM= CND ,所以CND+DCN=90,即ANM+DAE=90,所以AMN=ADC=90 .所以 AECG.5
