1、12.菱形的判定1.用直尺和圆规作一个菱形,如 图 ,能得到四边形 ABCD 是菱形的依据是( B )(A)一组邻边相 等的四边形是菱形(B)四边相等的四边形是菱形(C)对角线互相垂直的平行四边形 是菱形(D)每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的是( B )(A)BA=BC (B)AC,BD 互相平分(C)AC=BD (D)ABCD3.已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论不正确的是( D )(A)当 AB=BC 时,它是菱形(B)当 ACBD 时,它是菱形(C)当ABC=90时 ,
2、它是矩形(D)当 AC=BD 时,它是菱形4.(2018 扬州改编)如图,在平行四边形 ABCD 中,DB=DA=9,点 F 是 AB 的中点,连结 DF 并延长,交CB 的延长线于点 E,连结 AE,则四边形 AEBD 的周长是 36 . 5.如图,小聪在作线段 AB 的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以 A 和 B 为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交于 C,D,则直线 CD 即为所求. 根据他的作图方法可知四边形 ADBC一定是 菱 形. 6.ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若BAO=DAO,则ABCD 是菱 形. 2第 6 题图7.如图,四边形 ABCD 的对
3、角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 ACBD(或AB=BC 或 BC=CD 或 CD=DA 或 AB=AD)(答案不唯一) (添加一个条件即可). 第 7 题图8.将三角形纸片 ABC(ABAC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD,展平纸片,如图;再次折叠该三角形纸片,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,再次展平后连结 DE,DF,如图.求证:四边形 AEDF 是菱形.证明:由第一次折叠得 AD 为CAB 的平分线,所以1=2.由第二次折叠得CAB=EDF,所以3=4.因为 AD=AD,所以AEDAFD.所以 AE=AF,DE=DF.由第二次折叠
4、得 AE=ED,AF=DF,所以 AE=ED=DF=AF.所以四边形 AEDF 是菱形.9.(2018 内江)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E,F 分别是 AB,BC 上的点,AE=CF,并且AED=CFD.求证:(1)AEDCFD;(2)四边形 ABCD 是菱形.证明:(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以A=C.因为 AE=CF,AED=CFD,所以AEDCFD.(2)因为AEDCFD,所 以 AD=CD.3因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以四边形 ABCD 是菱形.10.已知:如图,在ABCD 中,O 为对角线 BD 的中点,过点 O 的直线 EF 分别交
5、AD,BC 于 E,F 两点,连结 BE,DF.(1)求证:DOEBOF;(2)当DOE 等于多少度时,四边形 BFDE 为菱形?请说明理由.(1)证明:在ABCD 中,因为 ADBC,所以ADB=CBD.因为 OB=OD,DOE=BOF,所以DOEBOF.(2)解:当DOE=90时,四边形 BFDE 为菱形.因为DOEBOF,所以 OE=OF.因为 OB=OD,所以四边形 BFDE 为平行四边形.因为DOE=90,所以 EFBD,所以BFDE 为菱形.11.(拓展探究题)如图,已知ABC,按如下步骤 作图:分别以 A,C 为圆心,大于 AC 的长为半径画弧,两弧交于 P,Q 两点;作直线 PQ,分别交 AB,AC 于点 E,D,连结 CE;过 C 作 CFAB 交 PQ 于点 F,连结 AF.(1)求证:AEDCFD;(2)求证:四边形 AECF 是菱形.证明:(1)根据题中作图步骤和可知 PQ 是 AC 的垂直平分线.所以 CD=AD,EDAC.因为 CFAB,所以DCF=DAE.因为DCF=DAE,CD=AD,4CDF=ADE,所以AEDCFD.(2)因 为AEDCFD,所以 FD=ED,AD=CD.所以四边形 AECF 为平行四边形.又因为 PQ 是 AC 的垂直平分线,所以四边形 AECF 是菱形.
