1、12.矩形的判定1.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,则下面条件能判定平行四边形ABCD 是矩形的是( A )(A)AC=BD(B)ACBD(C)AO=CO(D)AB=AD2.已知平行四边形 ABCD,AC,BD 是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是( C )(A)BAC=DCA(B)BAC=DAC(C)BAC=ABD(D)BAC=ADB3.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,1=2.若 AC=13,BC=12,则四边形 ABCD 的面积是( D )(A)20 (B)30 (C)50 (D
2、)604.在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 的交点为 O,不能判断四边形 ABCD 为矩形的是( C )(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD(B)AO=CO,BO=DO,A=90(C)A =C,B+C=180(D)ABCD,AB=CD,A=905.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,添加一个条件: ABC=90(或 AC=BD 等) ,可使它成为矩形. 6.如图,在ABC 中,AB=AC,将ABC 绕点 C 旋转 180得到FEC,连结 AE,BF.当ACB 为 60 时,四边形 ABFE 为矩形. 27.如图,在两条平行直线 a 和 b 上用直角曲尺画两条直线,则构成的四边形 A
3、BCD 为 矩形 . 8.学完矩形的判定后,小明和小丽想实际应用一下(检验教室的门是否为矩形).根据小明和小丽的对话,你认为小明和小丽谁正确:小明:“我用直尺量这个门的两条对角线,发现它们的长度相等,所以这个四边形门就是矩形.”小丽:“我用角尺量这个门的任意三个角,发现它们都是直角.所以这个四边形门就是矩形.”解:小明的不一定是矩形,只根据对角线相等不能判定四边形为矩形;因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以小明的说法错误;小丽的一定是矩形,因为有三个角是直角的四边形是矩形.所以小丽的说法正确.9.(2018 北京门头沟期末)已知,如图,在ABCD 中,过点 D 作 DEAB 于点 E,点 F
4、 在边 CD 上,DF=BE,连结 AF 和 BF.(1)求证:四边形 BFDE 是矩形;(2)如果 CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF 平分DAB.证明:(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 DFBE.因为 DF=BE,所以四边形 BFDE 是平行四边形.因为 DEAB,所以DEB=90.所以四边形 BFDE 是 矩形.(2)因为四边形 BFDE 是矩形,所以BFD=BFC=90.所以 BC= =5,所以 AD=BC=5.因为 DF=5,所以 AD=DF.所以DAF=DFA.因为 ABCD,所以DFA=FAB.所以DAF=FAB.所以 AF 平分DAB.10.如图,在ABC
5、中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作直线 EFBC 分别交ACB,外角ACD 的平分线于点 E,F.3(1)若 CE=8,CF=6,求 OC 的长;(2)连结 AE,AF.问:当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?并说明理由.解:(1)因为 EF 交ACB 的平分线于点 E,交ACB 的外角平分线于点 F,所 以OCE=BCE,OCF=DCF,因为 EFBC,所以OEC=BCE,OFC=DCF,所以OEC=OCE,OFC=OCF,所以 OE=OC,OF=OC,所以 OE=OF.因为OCE+BCE+OCF+DCF=180,所以ECF=90,在 RtCEF
6、 中,由勾股定理得 EF= = =10,2+2所以 OC=OE= EF=5.(2)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形.理由:连结 AE,AF,如图所示,当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,因为 EO=FO,所以四边形 AECF 是平行四边形,因为ECF=90,所以平行四边形 AECF 是矩形.11.(拓展探究)(2018 青岛)已知,如图,平行四 边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 E,点G 为 AD 的中点,连结 CG,CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F,连结 FD.(1)求证:AB=AF;(2)若 AG=AB,BCD=120,判
7、断四边形 ACDF 的形状,并证明你的结论.(1)证明:因为四 边形 ABCD 是平行四边形,4所以 BFCD,AB=CD,所以 AFG=DCG.因为 GA=GD,AGF=CGD,所以AGFDGC.所以 AF=CD.所以 AB=AF.(2)解:四边形 ACDF 是矩形.证明如下:因为 AF=CD,AFCD,所以四边形 ACDF 是平行四边形.所以 AG=DG,FG=CG.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以BAD =BCD=120.所以FAG=60.因为 AB=AF,AG=AB,所以 AG=AF.所以AFG 是等边三角形.所以 AG=GF.所以 AG=DG=FG=CG.所以 AD=CF.所
8、以四边形 ACDF 是矩形.12.(方程思想)如图,在直角梯形 ABCD 中,B=90,ADBC,AB=14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,点 E 由点 A 出发沿 AD 方向向点 D 匀速运动,速度为 1 cm/s,点F 由点 C 出发沿 CB 方向向点 B 匀速运动,速度为 2 cm/s,如果动点 E,F 同时从 A,C 两点出发,连结 EF,若设运动的时间为 t s,解答下列问题:(1)当 t 何值时,梯形 AEFB 的面积是 91 cm2?(2)当 t 何值时,四边形 AEFB 是矩形?解:(1)根据题意,得 AE=t cm,CF=2t cm,则 BF=(21-2t)cm.因为 S 梯形 AEFB=91,所以 (t+21-2t)14=91.所以 t=8.所以当 t=8 时,梯形 AEFB 的面积是 91 cm2.(2)根据题意,得 AE=t cm,CF=2t cm,则 BF=(21-2t)cm.因为 AEBF,B=90,所以当 AE=BF 时,四边形 AEFB 是矩形.所以 t=21-2t.所以 t=7.所以当 t=7 时,四边形 AEFB 是矩形.5
