1、1第 19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩 形1.矩形的性质 1.如图,将矩形纸片 ABCD沿直线 EF折叠,使点 C落在 AD边的中点 C处,点 B落在点 B处,其中 AB=9,BC=6,则 FC的长为( D )(A) (B)4 (C)4.5 (D)52.如图,在矩形 ABCD中, 对角线 AC,BD相交于点 O,AOB=60,AC=6 cm,则 AB的长是( A )(A)3 cm (B)6 cm(C)10 cm (D)12 cm3.如图,在ABC 中,C=90,点 D,E,F分别在 BC,AB,AC上,EFBC,DECA.若四边形 CDEF周长是 y,DE是 x,DC是 10,则 y与
2、x之间的函数表达式是( B )(A)y=x+10 (B)y=2x+20(C)y=10x (D)y=4.(整体思想)如图,点 P是矩形 ABCD的边 AD上的一动点,矩形的两条边 AB,BC的长分别是6和 8,则点 P到矩形的两条对角线 AC和 BD的距离之和是 ( A )(A)4.8 (B)5(C)6 (D)7.25.如图,在矩形 ABCD中,ABBC,点 E,F,G,H分别是边 DA,AB,BC,CD的中点,连结 EG,FH,则图中矩形共有 9 个. 26.(2018常德)如图,将矩形 ABCD沿 EF折叠,使点 B落在 AD边上的点 G处,点 C落在点 H处,已知DGH=30,连结 BG,
3、则AGB= 75 . 7.如图,矩形 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O,过点 O的直线分别交 AD和 BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 3 . 8.如 图,在矩形 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,过点 A作 AEBD,垂足为点 E,若EAC=2CAD,则BAE= 22.5 度. 9.(2018广东)如图,矩形 ABCD中,ABAD,把矩形沿对角线 AC所在直线折叠,使点 B落在点E处,AE 交 CD于点 F,连结 DE.(1)求证:ADECED;(2)求证 :DEF 是等腰三角形.证明:(1)因为四边形 ABCD是矩形,所以 AD=BC,AB=
4、CD.由折叠的性质得 BC=CE,AB=AE.所以 AD=CE,AE=CD.因为 DE=ED,所以ADECED.(2)因为ADECED,所以DEF=EDF.所以 EF=DF.所以DEF 是等腰三角形.310.(2018北京东城区期末)如图,在矩形纸片 ABCD中,AB=3,AD=9,将其折叠,使点 D与点 B重合,折痕为 EF.(1)求证:BE=BF;(2)求 BE的长.(1)证明:因为四边形 ABCD是矩形,所以 ADBC.所以DEF=EFB.根据折叠的性质得BEF=DEF.所以BEF=EFB.所以 BE=BF.(2)解:因为四边形 ABCD是矩形,所以A=90.由折叠的性质得 BE=ED.
5、设 BE=x,则 AE=9-x.因为 AE2+AB2=BE2,所以(9-x) 2+32=x2.解得 x=5.所以 BE=5.11.如图 ,在矩形 ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点 E由点 A出发沿 AB方向向点 B匀速移动,速度为 1 cm/s,点 F由点 B出发沿 BC方向向点 C匀速移动,速度为 2 cm/s,如果动点 E,F同时从 A,B两点出发,连结 EF,DE,DF,若设运动的时间为 t s,解答下列问题:(1)当 t为何值时,BEF 为等腰直角三角形?(2)是否存在某一时刻 t,使DCF 为等腰直角三角形?解:(1)根据题意,得 AE=t cm,BF=2t cm.所
6、以 BE=(6-t)cm.因为四边形 ABCD是矩形,所以B=90.因为要使BEF 为等腰直角三角形,应有 BE=BF,所以 6-t=2t.所以 t=2.所以当 t=2时,BEF 为等 腰直角三角形.(2)根据题意,得 BF=2t cm.所以 CF=(12-2t)cm.因为四边形 ABCD是矩形,所以C=90.因为要使DCF 为等腰直角三角形,应有 CF=DC,所以 12-2t=6.所以 t=3.所以当 t=3时,DCF 为等腰直角三角形.412.(方程思想)如图,矩形 ABCD中,AB 长 6 cm,对角线比 AD边长 2 cm.求 AD的长及点 A到BD的距离 AE的长.解:设 AD=x cm,则对角线长为(x+2) cm,在 RtABD 中,由勾股定理, 得 AD2+AB2=BD2,所以 x2+62=(x+2)2,解得 x=8.则 AD=8 cm,DB=8+2=10(cm).在 RtABD 中 有,= ,而 DB=10 cm,AD=8 cm,AB=6 cm,所以 AE= = =4.8(cm).5
