1、2.3 幂函数,一,二,一、幂函数的定义 1.函数y=2x与y=x2有什么不同? 提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.,提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂x的系数为1;解析式等号右边只有1项. 3.填空: 一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.,一,二,4.做一做: 在函数y= ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 . 解析:函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=x(R)的形式,所以
2、它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数. 答案:1,一,二,二、幂函数的图象及性质,一,二,(1)它们的图象都过同一定点吗? 提示:是的,都过定点(1,1). (2)上述5个函数中,在(0,+)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢? 提示:在(0,+)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+)内是减函数的有:y=x-1. (3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢? 提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.,一,二,
3、2.填表: 幂函数的性质,一,二,3.判断正误: (1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( ) 答案:(1) (2),一,二,4.做一做:A.奇函数且在(0,+)上单调递增 B.偶函数且在(0,+)上单调递减 C.非奇非偶函数且在(0,+)上单调递增 D.非奇非偶函数且在(0,+)上单调递减,一,二,答案:(1)C (2)C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一幂函数的概念 例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x(0,+)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 分析:由f(x)=(m2-
4、m-5)xm-1是幂函数,且当x0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值. 解:根据幂函数的定义, 得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不符合要求.故m=3. 反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x(为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原
5、点,求实数m的取值. 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究二幂函数的图象 例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.c1,0b1.故cba. 答案:A,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a2b2c,又函数y=
6、2x在R上是增函数,于是abc. 2.对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限. (2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). (3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断. (4)当0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是增函数;当0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是减函数.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练2如图所示,曲线C1
7、与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( ) A.nm0 D.mn0 解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,nm0.故选A.答案:A,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究三利用幂函数的单调性比较大小 例3比较下列各组中两个数的大小:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法,2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数
8、的同一个单调区间内,否则无法比较大小.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,A.bb,ac,bac. 答案:A,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究四幂函数图象的应用 例4已知点 在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)g(x). 分析:先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示: (1)当x1或xg(x); (2)当x=1或x=-1
9、时,f(x)=g(x); (3)当-1x1且x0时,f(x)g(x).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练 4已知(0.71.3)m1时,y1,1.30.71. 于是有0.71.30时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m0.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,数形结合与分类讨论思想在幂函数中的应用 典例 已知函数 (mZ)为偶函数,且f(3)0且a1)在2,3上为增函数,求实数a的取值范围. 分析:(1)根据单调性明确-2m2+m+3的符号,从而得出m的取值范围.由mZ可得m的具体值,再根据奇偶性进行取舍.(2)分01进行讨论,研究内、外层函数的单
10、调性,注意当x2,3时,真数应恒为正.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,归纳总结幂函数综合应用中应注意 1.充分利用幂函数的性质,如单调性、奇偶性等. 注意分类讨论、数形结合思想的应用. 2.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,它将抽象的数量关系与直观的图形结合起来,使问题变得简单易懂.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练 已知幂函数 满足f(2)f(4). (1)求f(x)的解析式. (2)若函数g(x)=f2(x)+mf(x),x1,
11、9,是否存在实数m使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解:(1)f(x)是幂函数,p2-3p+3=1, 解得p=1或p=2.(2)令t=f(x),x1,9, 则t1,3,记(t)=t2+mt,t1,3.综上所述,存在m=-1使得g(x)的最小值为0.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,1.幂函数y=kx过点(4,2),则k-的值为( ),解析:幂函数y=kx过点(4,2),答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,2.幂函数 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线( ) A.
12、C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2 C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3 解析:幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4, 在第一象限内的图象为C2, 在第一象限内的图象为C3. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,3.幂函数f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:幂函数f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上是减函数,则3m-50,即m . 又mN,故m=0或m=1. f(-x)=f(x),f(x)是偶函数. 当m=0时,f(x)=x-5是奇函数; 当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,5.比较下列各组中两个值的大小:,(4)0.18-0.3与0.15-0.3.,
