1、2.2.2 对数函数及其性质,一,二,三,一、对数函数的定义 1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x0)是否表示y是x的函数?为什么? 提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x0)x=2y,结合指数的运算可知,在定义域x|x0内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故y=log2x(x0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+). 2.填空: 一般地,我们把函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+).,一,二,三,3.判断一个函数是不是对数函数的依据是什么? 提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足函数解析式右边的系数为1;底
2、数为大于0且不等于1的常数;真数仅有自变量x这三个条件,才是对数函数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是对数函数. 4.做一做: 下列函数是对数函数的是( ) A.y=logax+2(a0,且a1,x0) B.y=log2 (x0) C.y=logx3(x0,且x1) D.y=log6x(x0) 答案:D,一,二,三,二、对数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中,函数y=log2x与y= 的图象如图所示.你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗?,提示:,一,二,三,提示:关于x轴对称.,提示:在直线x=1的右侧,a1时,a越大,图象
3、越靠近x轴,0a1时,a越小,图象越靠近x轴.,一,二,三,4.填表: 对数函数的图象和性质,一,二,三,5.判断正误: 函数 与y=logax(a0,且a1)的图象关于y轴对称. ( ) 答案:,一,二,三,6.做一做: (1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 ( ) A.0.5 B.2 C.e D. (2)下列函数中,在区间(0,+)内 不是增函数的是( ) A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x2+1 D.y= (3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点 . 解析:(1)函数y=logax在(0,+)上单调递减, 0a1,只有选项A符合题意.
4、 (3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6). 答案:(1)A (2)D (3)(3,-6),一,二,三,三、反函数 1.函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间有什么关系?其图象之间是什么关系? 提示:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间是互换的,两者的图象关于直线y=x对称. 2.填空: 对数函数y=logax(a0且a1)和指数函数y=ax(a0且a1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.,一,二,三,3.判断正误: 若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a). ( ) 答案: 4.(1)函
5、数f(x)= 的反函数是 . (2)函数g(x)=log8x的反函数是 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一对数函数的概念 例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)logmx,则m= .,求f(x)的解析式; 解方程f(x)=2. 分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数;然后利用指对互化解方程.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m
6、0,且m1,所以m=2. 答案:2 (2)解:由题意设f(x)=logax(a0,且a1),解得a=16,故f(x)=log16x. 方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= . (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .,(2
7、)设对数函数为f(x)=logax(a0,且a1). 则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究二对数函数的图象 例2函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由; (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出(3)从(2)的图中你发现了什么?,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解:(1)对应函数y=lg x,对应函数y=log5x,对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.,当堂检测,探究一,探究二,探
8、究三,探究四,思想方法,反思感悟 对数函数图象的变化规律: 1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 解:先画出函数y=lg x的图象(如图). 再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图)
9、.,图 图,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图).图 由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+).,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究三利用对数函数的性质比较大小 例3 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)loga,loga3.141(a0,且a1). 分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利
10、用其单调性比较大小; (2)分别比较两个对数与0的大小; (3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.9log21=0,log0.32log0.32. (3)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaloga3.141; 当01时,logaloga3.141; 当0a1时,logaloga3.141.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟 求复合函数的单调区间的步骤 1.求出函数的定义域; 2.将复合
11、函数分解为基本初等函数; 3.分别确定各个基本初等函数的单调性; 4.根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练3比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a0,且a1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3,log3. 解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.31时,函数y=logax在(0,+)上是增函数,又3.1loga5.2. 故当a1时,loga3.1loga5.2.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(3)(方法
12、一)因为0log0.23log0.24,(方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2log30.2. (4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且3, 所以log3log33=1. 同理,1=loglog3,所以log3log3.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究四求复合函数的单调区间 例4求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间. 分析:利用复合函数法确定其单调区间. 解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+110. 当x1时,u=x2-2x+2是增函数, 又y=log0.2u是减函数, 所以y=
13、log0.2(x2-2x+2)在1,+)上是减函数. 同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-,1上是增函数. 故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-,1,单调减区间为1,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,变式训练 4求函数y=loga(a-ax)的单调区间. 解:(1)当a1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即ax0,即ax1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)上是减函数;当0a1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)上是增函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,与对数
14、函数有关的图象变换问题答案:(-,-2),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,答案:,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,A.-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3 D.-1,3,答案:C,A.-1,0 B.0,1 C.1,+) D.(-,-1,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,A.yx1 B.xy1 C.1xy D.1yx,答案:D,4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a0,且a1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 . 解析:令x-1=1,得x=2.f(2)=2,
15、 f(x)的图象恒过定点(2,2). 答案:(2,2),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 . 解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2log0.20.3log0.21log0.24, 即1a0c. 同理log26log22=1,所以bac. 答案:bac,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,6.已知函数f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; (2)若f(a)f(2),利用图象求a的取值范围. 解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增. 当0a2时,恒有f(a)f(2), 故所求a的取值范围为(0,2).,
