1、2.1.2 指数函数及其性质,一,二,一、指数函数的定义 1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系? 提示:y=2x,xN*. (2)上述对应关系是函数关系吗?为什么? 提示:是.符合函数的定义. 2.如果xR,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有何结构特征? 提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量. 3.填空: 一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.,一,二,4.指数函数定义中为什么规定了a0且a1? 提示:将a如数轴所示分为
2、:a1五部分进行讨论:,(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要; (4)如果01,即a0且a1,x可以是任意实数.,一,二,5.做一做: 函数y=(a-2)ax是指数函数,则( ) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a0且a1 解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数, 则a-2=1,解得a=3. 答案:C 6.判断正误: y=x2 019-x是指数函数. ( ) 答案:,一,二,二、指数函数y=ax(a0,且a1)的图象与性质,一,二,(1)图象分布在哪几个象限?这说明了什么? 提示:图象分布在第一、二象限,说明值域为(0,+). (2)猜想图象的上升、下
3、降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何? 提示:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象下降,为减函数. (3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗? 提示:图象恒过定点(0,1),与a无关.,一,二,3.你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax的哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) 提示:定义域为R,值域为(0,+),过定点(0,1),当a1时在R上是增函数,当0a1时在R上是减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数.,一,二,4.填表: 指数函数的图象和性质,一,二
4、,5.做一做: (1)不论a取何值,函数f(x)=a2x-1+3(a0,且a1)一定经过定点( )(2)已知函数f(x)=ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( ),一,二,(2)函数f(x)=ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则由于指数函数是单调函数,则有a1,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上面,可知B正确. 答案:(1)C (2)B,一,二,6.判断正误: (1)y=3-x是R上的增函数.( )答案:(1) (2),探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一指数函数的概念,(2)已知函数y=(a2-3a+
5、3)ax是指数函数,求a的值. 分析:(1)设出指数函数f(x)的解析式,然后代入已知点的坐标求解参数,从而确定函数解析式,然后代值求解;(2)依据指数函数的形式定义,确定参数a所满足的条件求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(1)解析:设f(x)=ax(a0,a1), a-2= .a=2.f(4)f(2)=2422=64. 答案:64,反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下:,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练(1)已知指数函数图象经过点P(-1,3),则f(3)= . (2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a= .,解析:
6、(1)设指数函数为f(x)=ax(a0且a1),由题意得a-1=3,(2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究二指数函数的图象问题 例2 (1)如图是指数函数:y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc (2)已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是 . (3)函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,分析:(1)作直线x=1,其与函
7、数图象的交点纵坐标即为指数函数底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可解得;(3)先讨论x,将函数写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域和单调区间. (1)解析:(方法一)中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有ba,中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图象向上越靠近y轴,故有dc.故选B.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(方法二)作直线x=1,与函数,的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知ba1dc.故选B. 答案:B
8、,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(2)解析:当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点. 答案:(-1,4),所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1,单调递增区间是(-,0,单调递减区间是(0,+).,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大. 无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象与直线x=1相交于点(1,a
9、),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小. 2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k0,a0,且a1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b). 3.指数函数y=ax与y= (a0,且a1)的图象关于y轴对称. 4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢?,则原函数的图象关于y轴对称,如图.由图象可知,函数的值域为1,+),单调递
10、增区间为0,+),单调递减区间为(-,0).,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究三指数函数的性质及其应用 例3 (1)求下列函数的定义域与值域:,(2)比较下列各题中两个值的大小: 2.53,2.55.7;,2.3-0.28,0.67-3.1. 分析:(1)根据解析式有意义的条件求解函数定义域,然后结合指数函数的单调性求解函数的值域;(2)根据两数的结构特征构造指数函数,将其转化为指数函数的单调性问题求解,或借助中间值比较大小.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(1)由x-40,得x4,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(2)(单调性法)由于2.53与2
11、.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数. 又35.7,2.532.55.7.,(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.280.670=1,则2.3-0.280.67-3.1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟1.函数y=af(x)(a0,且a1)的定义域、值域: (1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)函数y=af(x)的值域的求法如下. 换元,令t=f(x); 求t=f(x)的定义域xD; 求t=f(x)的值域tM; 利用y=at的单调性求y=at(tM)的值域. 2.比较幂的大小的
12、常用方法:,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,延伸探究比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a1,且a2). 解:因为a1,且a2,所以a-10,且a-11, 若a-11,即a2,则y=(a-1)x是增函数, (a-1)1.3(a-1)2.4. 故当a2时,(a-1)1.3(a-1)2.4.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,换元法在求函数值域中的应用(1)求函数的单调区间; (2)求函数的值域.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟 1.定义域、值域的求解思路 形如y=af(x)的函数的定义
13、域就是f(x)的定义域. 求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论. 形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域. 2.求解技巧 复合函数的值域,往往用换元法解决,但要注意新元和旧元的关系.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(1)当m=-2时,求函数f(x)在(-,0)上的值域; (2)若对任意x0,+),总有|f(x)|6成立,求实数m的取值范围.x(-,0),t(1,+), y=g(t)=t2-2t+4
14、=(t-1)2+3,对称轴t=1,图象开口向上, g(t)在t(1,+)为增函数, g(t)3,即f(x)的值域为(3,+).,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.函数y=2-x的图象是图中的( ),答案:B,2.已知集合M=yR|y=2x,x0,N=xR|x2-2x0,则MN=( ) A.(1,2) B.(1,+) C.2,+) D.(-,0(1,+) 答案:A,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,3.已知2x21-x,则x的取值范围是( ),答案:C,4.若a3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点的坐标是
15、. 解析:a3,a-21.令2x+6=0,得x=-3, 则f(-3)=4(a-2)0-1=3. 故函数f(x)恒过定点的坐标是(-3,3). 答案:(-3,3),探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,5.若指数函数f(x)=ax(a0,且a1)在区间1,2上的最大值等于3a,则a= . 解析:当a1时,函数f(x)在区间1,2上是增函数,有f(2)=a2=3a,解得a=3(舍去a=0); 当0a1时,函数f(x)在区间1,2上是减函数,有f(1)=a=3a,解得a=0,此时不符合题意. 综上可知,a=3. 答案:3,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,6.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则不等式f(x-2)0的解集为 . 解析:设x0,f(-x)=2-x-4. 又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=2-x-4.答案:x|x4,7.求函数f(x)=7-x+5的定义域、值域.,故函数f(x)=7-x+5的值域为(5,+).,
