1、2.1.1 指数与指数幂的运算,一,二,三,四,一、n次方根 1.我们在初中学习了平方根、立方根,有没有四次方根、五次方根、n次方根呢? (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢? 提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零. (2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根? 提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*.,一,二,三,四,2.填空:,一,二,三,四,3.做一做: 用根式表示下列各式.
2、(1)已知x5=2 019,则x= ; (2)已知x6=2 019,则x= .,4.判断正误:答案:,一,二,三,四,二、根式 1.类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?,一,二,三,四,3.填空:,一,二,三,四,4.做一做:,答案:(1)奇 (2)n-m,一,二,三,四,三、分数指数幂 1.整数指数幂的运算性质有哪些?,提示:(1)aman=am+n;(2)(am)n=amn;,2.零和负整数指数幂是如何规定的?,一,二,三,四,3.根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律?,提示:当根式的被开方数(被开方数大于0)的
3、指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.,一,二,三,四,4.填表: 正数的分数指数幂的意义,一,二,三,四,5.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用? 提示:由于整数指数幂、分数指数幂都有意义,因此有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: (1)aras=ar+s(a0,r,sQ); (2)(ar)s=ars(a0,r,sQ); (3)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).,6.判断正误:答案:(1) (2),一,二,三,四,7.做一做: (1)若a0,且m,
4、n为整数,则下列各式正确的是( ),(2)将下列根式化为分数指数幂:,(3)将下列分数指数幂化为根式:,一,二,三,四,四、无理数指数幂,2.无理数指数幂a(a0,是一个无理数)有何意义?有怎样的运算性质? 提示:无理数指数幂的意义,是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说,无理数指数幂a(a0,是一个无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一分数指数幂的简单计算问题 例1计算:分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3),就先把幂
5、的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. 2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究二根式的化简(求值) 例2 求下列各式的值:,分析:(1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进
6、行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,解:(1)原式=a-b+b-a=0.,-3x3,当-3x1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2; 当1x3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.,(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,延伸探究(1)该例中的(2),若x3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若
7、x3,则x-10,x+30, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值,分析:(1)直接运用分数指数幂的运算性质进行计算;(2)先将根式化为分数指数幂,再运用分数指数幂的运算性质进行化简.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究四条件求值,(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2. 分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件 的联系,进而整体代入求值.,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. (2)由a+a-1=3,两
8、边平方,得a2+a-2+2=9, 即a2+a-2=7. (3)设y=a2-a-2,两边平方,得 y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,用换元法处理指数幂中的化简与证明问题分析
9、:看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,反思感悟 1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数k,然后以k为媒介化简,这样使问题容易解决. 2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,A.5 B.-1 C.2-5 D.5-2,答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,2.下列各式正确的是( ),答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当堂检测,3.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为 ( ) A.15 B.17 C.35 D.37,答案:B,解析:由a-20,且a-40,得a2,且a4. 答案:2,4)(4,+),
