1、3.2.1 几类不同增长的函数模型,三类函数增长速度的比较 1.函数y=2x,y=log2x及y=x2的图象如图所示:,(1)当x(2,4)时,函数y=x2与y=2x哪一个增长得更快一些? 提示:y=x2. (2)当x(4,+)时,函数y=x2与y=2x哪一个增长得更快一些? 提示:y=2x. (3)是否存在一个x0,使xx0时恒有2xx2log2x成立? 提示:存在.,2.填表:三种函数模型的性质,3.填空: 三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同. (2)在区间(0,+)上随着x的增大,函数
2、y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x0,使得当xx0时,有logaxxnax.,4.做一做: 已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( ) A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2,解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合
3、此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C. 答案:C,5.判断正误: (1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( ) (2)当a1,n0时,在区间(0,+)上,对任意的x,总有logax0,b1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,规范解答,当堂检测,探究一比较函数增长的差异 例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2.(1)指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6)
4、,g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2,从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019). 因为g(2 019)g(6), 所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6). 反思感悟由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓
5、的函数是对数函数.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,延伸探究1在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢? 解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x. 延伸探究2本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小. 解:因为f(1)g(1),f(2)g(10),所以1x2,从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(8),所以f(2 019)g(2
6、 019)g(8)f(8).,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,探究二体会指数函数的增长速度 例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下: 甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司捐款最多? 分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示.,由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,反思感悟解答
7、此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,函数模型的应用 典例 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c如图所示.(1)求函数y1,y2的解析式; (2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,【规范展示】解:(1)P1:y1=axn过点(1,1.25),(4,2.5),探究一,探究二,规范解答,当堂检测,(2)设用x万元投资甲商品,则投资
8、乙商品为(10-x)万元,总利润为y万元.,所以用6.25万元投资甲商品,3.75万元投资乙商品,才能获得最大利润.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,【答题模板】,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,失误警示 造成失分的原因如下: (1)观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错; (2)计算不过关,将函数解析式求错; (3)二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,变式训练某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图
9、所示.,(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元),探究一,探究二,规范解答,当堂检测,故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,1.当a1时,有下列结论: 指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快; 指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快; 对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快; 对数函数y=logax,当a越小时,
10、其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( ) A. B. C. D. 答案:B,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2y2y3 B.y2y1y3 C.y1y3y2 D.y2y3y1 解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3. 答案:B,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,3.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,解:若用函数y=ax+b(a0),取(1,50),(2,52),y=2x+48. 当x=3时,y=54. 若用函数y=ax+b,取(1,50),(2,52),y=2x+48. 当x=3时,y=56. 由题知3月份的产量为53.9千件, 由上可知用函数y=2x+48的估计误差较小,故用函数y=ax+b模拟比较好.,
