1、习题课单调性与奇偶性的综合应用,1.填空: (1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判断函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间. (2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(nZ)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(nZ)型函数及常数函数都是偶函数. (3)如果f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们定义域中的公共区间上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶. (4)若f(x)为奇函数,且在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间a,b(
2、ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.,(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).,2.做一做: (1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)( ) A.在1,7上是增函数 B.在-7,2上是增函数 C.在-5,-3上是增函数 D.在-3,3上是增函数 (2)若奇函数f(x)满足f(3)f(1) C.f(-2)f(3) D.f(-3)f(5) (3)定义在R上的偶函
3、数f(x),对任意的x1,x20,+)(x1x2),有 0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .,解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1,即f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的图象(图略)知选C. (2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(-1). (3)由已知条件可知f(x)在0,+)上是减函数, 所以f(3)f(2)f(1). 再由偶函数的性质得f(3)f(-2)f(1). 答案:(1)C (2)A (3)f(3)f(-2)f(1),探究一,探究二,当堂检测,探究一应用
4、函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小 例1 已知偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是( ) A.f()f(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2) D.f()f(-2)f(-3) 解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).23,且f(x)在区间0,+)上为增函数,f(2)f(3) f(), f(-2)f(-3)f().故选A. 答案:A,探究一,探究二,当堂检测,反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单
5、调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.,探究一,探究二,当堂检测,延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系如何? (2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小. 解:(1)因为当x0,+)时,f(x)是减函数,所以有f(2)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f(). (2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上为增函数,所以函数在R上是增函数, 因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f().
6、,探究一,探究二,当堂检测,探究二应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式 例2已知定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围. 解:因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上是减函数,所以f(x)在-2,2上为减函数.,探究一,探究二,当堂检测,反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域. 由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f
7、(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.,探究一,探究二,当堂检测,延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为“-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:因为函数为-2,2上的偶函数,又函数在-2,0上是减函数,所以函数在0,2上是增函数, 不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),探究一,探究二,当堂检测,1.若f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且f(4)f(1),则下列各式一定成立的是( ) A.f(0)f(3) C.f(2)f(0) D.f(-1)f(1),f(4)f
8、(-1). 答案:D 2.若奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,则它在2,6上是( ) A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1 解析:奇函数f(x)在-6,-2上是减函数,且最小值是1,函数f(x)在2,6上是减函数且最大值是-1. 答案:C,探究一,探究二,当堂检测,3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-,-1上是增函数,则( ),解析:f(-x)=f(x),f(2)=f(-2),答案:D,探究一,探究二,当堂检测,4.定义在R上的偶函数f(x),当x0时,f(x)是减函数,若f(1-m)|m|,探究一,探究二,当堂检测,5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)2a-4,a6. 故a的取值范围为(6,+).,
