1、1.3.2 奇偶性,一,二,一、偶函数 1.观察下列函数的图象,你能通过这些函数的图象,归纳出这三个函数的共同特征吗?,提示:这三个函数的定义域关于原点对称,图象关于y轴对称.,一,二,2.对于上述三个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系? 提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等. 3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗? 提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)
2、=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称. 4.填空: (1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数. (2)偶函数的图象特征:图象关于y轴对称.,一,二,5.判断正误: 定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数. ( ) 答案: 6.做一做: 下列函数中,是偶函数的是( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=x C.f(x)= D.f(x)=x+x3 答案:A,一,二,二、奇函数 1.观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象(如图),你能发现这
3、两个函数图象有什么共同特征吗?提示:容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称. 2.对于上述两个函数f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系? 提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).,一,二,3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗? 提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称. 4.填空: (1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那
4、么函数f(x)叫做奇函数. (2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.,一,二,5.判断正误: (1)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.( ) (2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.( ) 答案:(1) (2),一,二,6.做一做: (1)函数f(x)= -x的图象关于( )对称. A.y轴 B.直线y=-x C.坐标原点 D.直线y=x (2)下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ),一,二,解析:(1)因为f(x)= -x是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称. (2)选项A中的函数图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,
5、故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B. 答案:(1)C (2)B,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性:,分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)函数的定义域
6、为x|x-1,不关于原点对称,f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),f(x)是奇函数.,函数的定义域为-1,1,关于原点对称. 又f(1)=f(-1)=0,f(x)既是奇函数又是偶函数.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,(4)函数的定义域关于原点对称. (方法一)当x0时,-x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x). f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.,图象关于原点对称, f(x)是奇函数.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.根据奇
7、偶性可将函数分为 奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数. 2.判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2)图象法:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1判断下列函数的奇偶性:,(2)f(x)=|x+2|+|x-2|; (3)f(x)=0.,解:(1)f(x)的定义域是R,所以f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数. (3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(
8、x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二利用函数的奇偶性求解析式 例2 已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1, (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式. 分析:(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解即可.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=
9、-f(1)=-(-212+31+1)=-2. (2)当x0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.这类问题常见的情形是: 已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式. 若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-(-x); 若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时, f(x)=f(-x
10、)=(-x). 2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.,解:当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究三分段函数的奇偶性问题解析:当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x, 又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x2-2x. f(x)=x2
11、+2x=x2+mx.m=2. 答案:2 反思感悟 分段函数奇偶性的判断技巧 (1)分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判断函数的奇偶性,否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数;(2)若能画出分段函数的图象,则利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性,这是一种非常有效的方法.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练 2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(aR)的奇偶性. 分析:对a进行分类讨论. 解:若a=0,则f(x)=|x|-|x|=0. 因为xR,定义域R关于原点对称, 所以f(x)既是奇函数,又是偶函数. 当
12、a0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),故f(x)是奇函数. 综上,当a=0时,函数f(x)既是奇函数,又是偶函数;当a0时,函数f(x)是奇函数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题 典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x0时,f(x)0,则( ) A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数 B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数 C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数 D.无法确定f(x)的单调
13、性和奇偶性,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0), 所以f(0)=0. 令x1=x,x2=-x, 则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数. 设x10,所以f(x2-x1)0, 故f(x2)f(x1), 所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性. 2.有时需要
14、整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况. 比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练 定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意,R,总有f(+)-f()+f()=2 019,则下列说法正确的是( ) A.f(x)-1是奇函数 B.f(x)+1是奇函数 C.f(x)-2 019是奇函数 D.f(x)+2 019是奇函数 解析:令=0,则f(0)-f(0)+f(0)=2 019, 即f(0)=-2 019. 令=-,则f(0)-f()+f(-)=2 019, 即f()+f(-)=-4 038, 则f(-)+2 0
15、19=-2 019-f()=-2 019+f(),即f(x)+2 019是奇函数,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,1.已知一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,则a+b等于 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 解析:因为一个奇函数的定义域为-1,2,a,b, 根据奇函数的定义域关于原点对称, 所以a与b有一个等于1,一个等于-2, 所以a+b=1+(-2)=-1. 答案:A,A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析:由题意知函数的定义域是(-,-4)(-4,+),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶
16、函数. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,3.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( ) A.-1 B.-3 C.1 D.3 解析:当x0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数, 故f(1)=-f(-1)=-3,故选B. 答案:B 4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= . 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a, f(x)是偶函数,a-4=0,即a=4. 答案:4,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,综上所述,在(-,0)(0,+)上总有f(-x)=-f(x). 因此函数f(x)是奇函数. 解法二作出函数的图象,如图所示. 又因为函数的图象关于原点对称,所以是奇函数.,
