1、第2课时 函数的最大(小)值,一,二,一、函数的最大值 1.函数f(x)=-x2+1,xR的图象如图所示,观察其图象回答下列问题:(1)函数图象有最高点吗? 提示:有. (2)其最高点的坐标是多少? 提示:(0,1). (3)对任意的自变量xR,f(x)与f(0)什么关系? 提示:f(x)f(0)=1.,一,二,2.填空: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.,一,二,3.判断正误: (1)二次函数
2、均有最大值. ( ) (2)若对xR,均有f(x)A成立,则A为函数f(x)的最大值. ( ) 答案:(1) (2) 4.做一做: 函数f(x)=(3a-2)x+1-a在-2,3上的最大值是f(-2),则实数a的取值范围是( )解析:函数f(x)=(3a-2)x+1-a在-2,3上的最大值是f(-2),则函数y=f(x)在-2,3上为减函数,则3a-20,解得a . 答案:D,一,二,二、函数的最小值 1.观察函数f(x)=x2-1的图象,你能指出该函数的最小值吗?并说明理由.提示:该函数的最小值为-1.因为对任意的x,都有f(x)f(0)=-1. 2.不等式x2-1一定成立吗?-1是不是函数
3、f(x)=x2的最小值? 提示:不等式x2-1一定成立.-1不是函数f(x)=x2的最小值, 因为不存在实数x使x2=-1.,一,二,3.填空: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最小值.其几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标.,4.判断正误: 若函数有最小值,则该函数的图象一定开口向上.( ) 答案:,一,二,5.做一做: (1)已知函数f(x)在-2,2上的图象如图所示, 则该函数的最小值、最大值分别是( ) A.f(-2),0 B.0,2
4、 C.f(-2),2 D.f(2),2 (2)函数f(x)= 在区间2,4上的最大值为 ,最小值为 . 解析:(1)由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究一利用函数的图象求函数的最值 例1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域. 分析:去绝对值分段函数作图识图结论.,由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,(1)画出f(x)的图象; (2)利
5、用图象写出该函数的最大值和最小值.,解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究二利用函数的单调性求最值 例2 已知函数f(x)=x+ . (1)判断f(x)在区间1,2上的单调性; (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值. 分析:(1)证明单调性的流程:取值作差变形判断符号结论; (2)借助最值与单调性的关系,写出最值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(1)设x1,x2是区间1,2上的任意两个实数,且x1x2,x10,1f(x2),即f(x)在区间1,2
6、上是减函数. (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1). f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤: (1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系: (1)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,在区间(b,c上是减(增)函数,则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b)
7、,最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. (3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间a,b上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并求f(x)在区间1,3上的最值.,当1x1f(x2),f(x)在区间1,2上为减函数; 当20,40,f(x1)f(x2),f(x)在区间(2,3上是增函数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,探究三与最值有关的应用问题 例3 某租赁公司拥有汽
8、车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 分析:读题提取信息建模解模解决实际问题,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时,所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,
9、反思感悟 1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值. 2.解函数应用题的一般程序是: (1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. (2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模.求解数学模型,得到数学结论. (4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. (5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:,解:(1)设月产量为x台,则总成本
10、为20 000+100x,当x=300时,f(x)max=25 000, 当x400时,f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)60 000-10040025 000.当x=300时,f(x)max=25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值 典例 求函数y=x2-2ax-1在区间0,2上的最值. 【审题视角】可变对称轴x=a与定区间0,2的 相对位置关系结合单调性与图象求解 解:y=(x-a)2-1-a2. 当a0时,0,2是函数的递增区间,如图. 故函数
11、在x=0处取得最小值-1, 在x=2处取得最大值3-4a. 当0a1时,结合函数图象(如图)知, 函数在x=a处取得最小值-a2-1, 在x=2处取得最大值3-4a.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,当12时,0,2是函数的递减区间,如图.,函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a. 综上,当a2时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解
12、二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如下讨论:,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.,解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:,图 当t+11,即t0时,如图所示,此时函数f(
13、x)在t,t+1上为减函数,g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,如图所示,此时,函数f(x)在t,1上为减函数, 在(1,t+1上为增函数, g(t)=f(1)=1.当t1时,如图所示,此时,函数f(x)在t,t+1上为增函数, g(t)=f(t)=t2-2t+2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,答案:A,2.函数y=|x+1|+2的最小值是( ) A.0 B.-1 C.2 D.3 解析:y=|x+1|+2的图象如图所示. 由图可知函数的最小值为2. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,
14、3.函数y=x2-2x,x0,3的值域为( ) A.0,3 B.-1,0 C.-1,+) D.-1,3 解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为-1,3,故选D. 答案:D,解析:当x1,2时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x-4,1时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11. 答案:11,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,5.数学老师给出一个函数f(x),甲、乙、丙、丁四名同学各说出了这个函数的一条性质. 甲:在(-,0上函数单调递减; 乙:在0,+)上函数单调递增; 丙:在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称; 丁:f(0)不是函数的最小值. 老师说:你们四名同学中恰好有三个人说的正确.那么,你认为 说的是错误的. 解析:如果甲、乙两名同学回答正确,因为在0,+)上函数单调递增,所以丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误,此时f(0)是函数的最小值,所以丁的回答也是错误的,与“四名同学中恰好有三个人说的正确”矛盾,所以只有乙说的错误,故答案为乙. 答案:乙,探究一,探究二,探究三,思想方法,当堂检测,6.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.,
