1、1.2.1 函数的概念,一,二,一、函数的概念 1.初中学习的函数的概念是如何定义的? 提示:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则称x是自变量,y是x的函数. 2.初中学过哪些函数? 提示:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.,一,二,3.阅读教材中的三个实例,并指出三个实例存在哪些变量?变量之间的对应关系是采用什么形式表达的?三个实例中变量的关系有什么共同点? 提示:每个实例中都存在着两个变量;实例(1)中的两个变量关系是通过关系式表达的,实例(2)中的变量间的关系是通过图象表达的,实例(3)中的变量间的关系是通过列表的形式表达的;三
2、个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有唯一确定的y和它对应,记作:f:AB.,一,二,4.填表:,5.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么? 提示:定义域A、对应关系f和值域f(x)|xA,共三个要素.起决定作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一定相同.,一,二,6.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系? 提示:值域是集合B的子集. 7.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同? 提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中的对应关系
3、实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发.,8.判断正误: (1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( ) (2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应. ( ) 答案:(1) (2),一,二,9.做一做: 下列对应是实数集R到R上的一个函数的是 .(只填序号),答案:,一,二,二、区间的概念及表示 1.阅读教材17页上半部分,关于区间的概念,请填写下表: 设a,bR,且ab,规定如下:,一,二,2.实数集R及xa,xa,xa,xa如何用区间表示? 提示:,3.判断正误: (1)所有的数集都能用区间表示
4、.( ) (2)所有的区间都能用数集表示.( ) 答案:(1) (2),一,二,4.做一做: 用区间表示下列集合: (1)x|21,且x2用区间表示为 ; (3)x|x1,且x2用区间表示为(1,2)(2,+). 答案:(1)(2,4 (2)(1,2)(2,+) (3)(-,-3)10,+),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,探究一函数的定义 例1下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是( )解析:根据函数定义,对于非空数集A中每一个确定的x值,都有唯一确定的y值与之对应,观察并分析图象知只有选项D符合函数的定义. 答案:D 反思感悟 y是x的函
5、数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,变式训练 1集合A=x|0x4,B=y|0y2,下列不表示从A到B的函数的是( )答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,探究二同一函数 例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:,(2)y=x0与y=1(x0); (3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ). 分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等;
6、如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们相等,否则它们不相等.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,所以它们不表示同一函数. (2)因为y=x0要求x0,且当x0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数. (3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,反思感悟判断两个函数是否表示同一函数的两个步骤,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,变式训练
7、2下列各组函数:,f(x)=x+1,g(x)=x+x0; 汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0t5)与一次函数g(x)=80x(0x5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,解析:f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 答案:,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法
8、,当堂检测,探究三区间 例3已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,则AB用区间可表示为 . 解析:A=x|5-x0,A=x|x5. B=x|x|-30,B=x|x3. AB=x|x-3或-3x3或3x5, 即AB=(-,-3)(-3,3)(3,5. 答案:(-,-3)(-3,3)(3,5 反思感悟 (1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,变式训练 3(1)集合x|0x1或2x11用区间表示为
9、 . (2)若集合A=2a-1,a+2,则实数a的取值范围用区间表示为 . 解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或a,b)成立的条件是ab. A=2a-1,a+2,2a-1a+2. a3, 实数a的取值范围是(-,3). 答案:(1)(0,1)2,11 (2)(-,3),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,探究四求函数的定义域 例4求下列函数的定义域:分析:观察函数解析式的特点列不等式(组)求自变量的取值范围,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况: (1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是
10、实数集R; (2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合; (3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,探究五求函数值(域),(1)求f(2),g(3),g(a+1)的值; (2)求f(g(2)的值; (3)求f(x)的值域.
11、 分析:(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2,3,计算得f(2)与g(3);(2)先求g(2)的值m,再求f(m)的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,故函数f(x)的值域为(0,1. 反思感悟 1.已知f(x)的表达式时,只需用数a替换表达式中的所有x即得f(a)的值. 2.求f(g(a)的值应遵循由内到外的原则. 3.用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,(5)求g(x)的值域.,故函数g(x)的值域为0,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方
12、法,当堂检测,用逆向思维解决函数定义域(或值域)问题分析:把求函数定义域问题转化为方程ax2+4ax+3=0无实根问题. 解:依题意,要使函数有意义,必须ax2+4ax+30. 即要使函数的定义域为R,必须方程ax2+4ax+3=0无实根. 当a=0时,方程ax2+4ax+3=0无实根; 当a0时,若方程ax2+4ax+3=0无实根, 则有判别式0,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,归纳总结定义域(或值域)的逆向问题常化为方程或不等式问题. 一般地,(1)ax2+bx+c0对xR恒成立,有a=b=0,c0或a0时,=b2-4ac0. (2)ax2+bx+c0对xR恒成
13、立,有a=b=0,c0或a0时,=b2-4ac0. (3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c0或a0时,0.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,解析:原问题化为ax2-x+a0对xR恒成立问题. (1)当a=0时,显然不合题意. (2)当a0时,只需0即可,即(-1)2-4a20,解得 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,1.下列图形中不是函数图象的是( )解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,其余B、C、D均符合函数定义.
14、 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,2.下列四组中的f(x)与g(x)为同一函数的是( ),D.f(x)=x,g(x)=|x| 解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同,故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,A.(-,+) B.(-,-1 C.(-1,+) D.-1,0)(0,+) 解析:要使函数有意义,则 解得f(x)的定义域为-1,0)(0,+).故选D. 答案:D 4.(1)函数y=2x+1,x(-1,1的值域是 .(用区间表示) (2)函数y=x2+x+2,xR的值域是 .(用区间表示),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,当堂检测,(1)求f(x)的定义域; (2)求f(-1),f(2)的值; (3)当a-1时,求f(a+1)的值. 解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x0, 故f(x)的定义域是(-,0)(0,+).,
