1、第2课时 补集及综合应用,一,二,一、全集 1.方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同?通过这个问题,你得到什么启示? 提示:方程在有理数范围内的解集为2,在实数范围内的解集为2, ,- .在数学中很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.类似这些给定的集合就是全集. 2.填空: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .,一,二,二、补集 1.A=高一(2)班参加排球队的同学,B=高一(2)班没有参加排球队的同学,U=高一(2)班的同学. (1)集合A,B,U
2、有何关系? 提示:U=AB. (2)集合B中的元素与U,A有何关系? 提示:集合B中的元素在U中,但不在A中.,一,二,2.填表:,一,二,3.判断正误: (1)A=A( ) (2)NN*=0( ) (3)U(AB)=(UA)(UB)( ) 答案:(1) (2) (3) 4.做一做: (1)设全集U=1,2,3,集合A=1,2,则UA等于( ) A.3 B.0,3 C.1,2 D.0,1 (2)已知全集U为R,集合A=x|x1,或x5,则UA= . 解析:(1)由补集的定义知UA=3. (2)集合A=x|x1,或x5的补集是UA=x|1x5. 答案:(1)A (2)x|1x5,探究一,探究二,
3、探究三,思维辨析,当堂检测,探究一补集的基本运算 例1 (1)已知全集为U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,则集合B= ; (2)已知全集U=x|x5,集合A=x|-3x5,则UA= . 分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解. (2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:(1)(方法一)A=1,3,5,7,UA=2,4,6, U=1,2,3,4,5,6,7. 又UB=1,4,6,B=2,3,5,7. (方法二)满足题意的Venn图如图所示.由图可知B=
4、2,3,5,7. (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知UA=x|x-3,或x=5. 答案:(1)2,3,5,7 (2)x|x-3,或x=5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟 求集合的补集的方法 1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. 2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,延伸探究若第(2)题中改为:已知集合A=x|-3x5,UA=x|x5,B=x|1x3,求UB. 解:由已知U=x|-3x
5、5x|x5=x|x-3,又B=x|1x3, 所以UB=x|-3x1或x3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究二并集、交集与补集的综合运算 例2已知全集U=R,集合A=x|-3x3,集合B=m|m1. 求:(1)UA,UB;(2)U(AB). 分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求AB,再根据补集的定义写出. 解:(1)A=x|-3x3,B=m|m1. 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.UA=x|x-3或x3,UB=m|m1. (2)AB=x|-3x1,如图阴影部分所示.U(AB)=x|x-3或x1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟 交
6、集、并集、补集的综合运算的两种主要情况 1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错. 2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练 已知全集U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,求集合B. 分析:先由集合A与UA求出全集,再由补集定义求出集合B,或利用Venn图求出集合B. 解方
7、法一:A=1,3,5,7,UA=2,4,6, U=1,2,3,4,5,6,7. 又UB=1,4,6, B=2,3,5,7. 方法二:借助Venn图,如图所示. 由图可知B=2,3,5,7.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究三补集性质的应用 例3 已知全集为R,集合A=x|xa,B=x|1x2,且A(RB)=R,则实数a的取值范围是 . 分析:先求出RB,再借助于数轴求实数a的取值范围. 解析:B=x|1x2,RB=x|x1,或x2. 又A=x|xa,且A(RB)=R,利用如图所示的数轴可得a2.答案:a2,反思感悟 由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的
8、关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,延伸探究已知集合A=x|x2+ax+12b=0和B=x|x2-ax+b=0,满足B(UA)=2,A(UB)=4,U=R,求实数a,b的值. 解:(1)B(UA)=2,2B,但2A. A(UB)=4,4A,但4B.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,因对补集的概念认识不到位而致错 典例 设全集U=2,3,a2+2a-3,A=|2a-1|,2,UA=5,求实数a的值. 错解UA=5,5U,且5A,a2+2a-3=5,且|2a-1|5,解得a=2或a=-4.
9、故实数a的值为2或-4. 以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范? 提示:上述求解的错误在于忽略了验证“AU”这一隐含条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解:(方法一)UA=5,5U,且5A, a2+2a-3=5,且|2a-1|5,解得a=2或a=-4. 当a=2时,|2a-1|=3,A=2,3,符合题意; 而当a=-4时,A=9,2,不是U的子集. 故实数a的值为2. (方法二)UA=5,5U,且5A,且|2a-1|=3.,防范措施 准确理解补集的概念是求解此类问题的关键.实际上UA的数学意义包括两个方面,首先必须具备AU,其次是定义UA=x|x
10、U,且xA.因此本题应先由5U求出a的值,再利用5A验证a的值是否符合题意.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练已知全集U=2,4,-(a-3)2,集合A=2,a2-a+2,若UA=-1,求实数a的值.,当a=2时,A=2,4,满足AU,符合题意; 当a=4时,A=2,14,不满足AU,故舍去. 综上可知,实数a的值为2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.(2018浙江高考,1)已知全集U=1,2,3,4,5,A=1,3,则UA=( ) A. B.1,3 C.2,4,5 D.1,2,3,4,5 解析:A=1,3,U=1,2,3,4,5, UA=2,4,5,故选
11、C. 答案:C 2.已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=( ) A.x|x0 B.x|x1 C.x|0x1 D.x|0x1 解析:U=R,A=x|x0,B=x|x1, AB=x|x0,或x1, U(AB)=x|0x1. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.已知全集U=R,A=x|1xb,UA=x|x1,或x2,则实数b= . 解析:UA=x|x1,或x2, A=x|1x2.b=2. 答案:2 4.已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=1,3,集合B=3,4,6,集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 . 解析:题图中阴影部分所表示的集合为B(UA)=3,4,62,4,5,6=4,6. 答案:4,6,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.A=x|-4x3.,
