1、- 1 -河北省大名一中 2018-2019 学年高一数学下学期第一次半月考试题一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一个选项符合题意）1若要得到函数 的图象，可以把函数 的图象( )A向右平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向左平移 个单位2设 ， ，则 的值为 A B C D3函数 y|sin x|的图象( )A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于坐标轴对称4角 的终边经过点 ，则 等于 A B C D5函数 的最小正周期是 A B C D6 ， ， 的大小关系是 A B C D7圆 的半径为 A1 B C2 D
2、8集合 M= Z，N= Z，则（ ）AM N BN M CM N= DM N=R- 2 -9已知点 位于第二象限，那么角 所在的象限是 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为 A B C D111若直线 l： 被圆 C： 所截得的弦长为 ，则 a 的值为 A 或 B7 或 1 C7 或 D 或 112若直线 与圆 ，则实数 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13已知点 在角 的终边上，则 _14已知空间中 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则 BC 边上的中线的长度为_。15
3、不等式 的解集是_16在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： 其中 上存在点 P，在圆 C：上存在两个不同的两点 M， N，使得点 M 是线段 PN 的中点，则实数 k 的最小值是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知 是第四象限角，且 f( ) (1)化简 f( )；(2)若 sin ，求 f( )；(3)若 ，求 f( )- 3 -18已知函数 的部分图像如图所示.（1）求 ；（2）如何由函数 的图像经过平移或伸缩变换得到函数 的图像，写出变换过程.19已知：函数 （1）求函数最小正周期；（2）求函数 的单调递增区间；（3）当
4、时，求函数 的最大值和最小值20已知 的三个顶点 ， ， ，其外接圆为圆 H求圆 H 的标准方程；若直线 l 过点 C，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程21已知圆 ： ，直线 ： .（）求证：直线 恒过定点：（）当直线 与圆 相交时，求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值以及最短长度.22已知圆 C：x 2+（y+4） 2=4，P 是直线 y=4 上的动点（1）若 P（2，4） ，过点 P 作圆 C 的切线，求切线的方程；（2）是否存在经过点 P 的直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点，且使得点（1，3）为线段 MN的中点?若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由-
5、 4 -参考答案1A【解析】【分析】函数 ，再由函数 的图象变换规律得出结论【详解】由于函数 ，故要得到函数 的图象，将函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位即可，故选： A【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律的应用，属于基础题2B【解析】【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系求出 ，再求 【详解】，由同角三角函数的正余弦平方和等于 1，故选： B【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义， ， 是对应三角函数值，理解记忆；是基础题- 5 -3B【解析】【分析】根据绝对值的知识，画出 的图像，根据图像判断出正确的选项.【详解】的图像是由 的图像保持 轴上方的图像不变， 轴下方的图像关于 对
6、称翻折得到，即如下图所示.由图可知， 图像关于 轴对称，故选 B.【点睛】本小题主要考查 图像变换，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4C【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值【详解】角 的终边经过点 ，则 ，故选： C【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5A【解析】【分析】根据函数 的最小正周期是 ，计算即可【详解】函数 的最小正周期是 故选： A- 6 -【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期计算问题，是基础题6D【解析】【分析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断【详解】解：由 ， 在第一象限为增函数，故得故选： D【点睛】本题考查了诱导公
7、式和正弦函数的单调性的运用，比较基础7D【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程,计算半径,即可.【详解】将圆的一般方程转化为标准方程,得到 ,故该圆的半径为 ,故选 D.【点睛】考查了圆的一般方程和标准方程的转化,难度较容易.8A【解析】【分析】对 k 分类讨论，明确集合 M，N 的范围，即可得到结果【详解】- 7 -解：kZ；k2n 或 2n+1，nZ； ；又 ；MN故选：A【点睛】本题考查描述法表示集合的方法，集合间的关系及交并运算，属于基础题9C【解析】【分析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角 所在的象限【详解】点 位于第二象限，可得 ， ，可得 ， ，角 所在的象限是第
8、三象限故选： C【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，是基础题第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.10C【解析】【分析】直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可【详解】圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形， 所以弦所对的- 8 -圆心角为 故选： C【点睛】本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查11A【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算参数，即可。【详解】圆心 到直线的距离 ，所以结合点到直线距离公式，解得 ，故选 A。【点睛】考查了点到直线距离公式，
9、考查了直线与圆的位置关系问题，难度中等。12C【解析】【分析】根据直线与圆有公共点知，圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可求出 的范围.【详解】因为圆心到直线的距离 ，且直线与圆有公共点，所以 ，解得 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，属于中档题.13- 9 -【解析】【分析】先求出原点到点 P 的距离，依据任意角的三角函数的定义求出 和 的值，然后代入式子运算【详解】点 在角 的终边上，则 ， ，故答案为： 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题14【解析】【分析】写出 BC 中点坐标 E,进而得 AE 长度.【详解】设 BC 中点 E,
10、则【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，两点间距离，是基础题.15【解析】【分析】- 10 -根据正切函数的图象与性质，可得 ， ，即可求解.【详解】根据正切函数的图象与性质，由 ，则 ， ，解得 ，即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题.16【解析】【分析】根据条件，若在圆上存在两个不同的两点 M， N，使得点 M 是线段 PN 的中点，等价为圆心到直线 的距离小于等于 3 即可【详解】解：圆心坐标 ，半径 ，则直径为 2，要使在圆 C： 上存在两个不同的两点 M， N，使得点 M
11、是线段 PN 的中点，- 11 -即 ，则 MN 的最大值为直径 2，即 MP 的最大值为 2，即圆心 C 到直线 的最大值距离 ，即圆心到直线 l： 的距离 d 满足 ，即 ，则 ，平方得 ，得 ，得 或 舍 ，则 k 的最小值为 ，故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键17(1) cos (2) (3) 【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式，即可化简可得 ；（2）因为 ，且 是第四象限角，得 ，即可求解；（3）由（1）利用诱导公式和特殊角的三角函数，化简得 ，即可求解。【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得 。（
12、2）因为 ，且 是第四象限角，所以 。- 12 -（3）由（1）得 。【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。18 （1） （2）详见解析【解析】【分析】（1）由图像得最值、周期、对称轴依次可得 ， 的值；（2）利用图像的伸缩和平移变换描述即可.【详解】（1）由图象知 . 的最小正周期 ,故 将点 代入 的解析式得 , 又 ， . - 13 -（2）由（1）易得函数 的解析式为变换过程如下:的图象 的图象 另解: 的图象 的图象.【点睛】本题主要考查了利用
13、函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中根据函数的图象，正确求解函数的解析式，合理利用三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19(1) ；（2） ；（3） ，【解析】【分析】（1）由条件根据函数 y Asin（ x+ ）的周期为 ，得出结论（2）根据正弦函数的增区间令 ，解出 x 的范围即可得 f（x）的增区间（3）根据正弦函数的定义域和值域，将 视为一个整体，即可求得函数 f（ x）的最值【详解】（1）函数 ；- 14 -（2）令 ，则，递增区间为（3） 当 ，即 x= 时， ，当 即 x=0 时，【点睛】本题主要考查
14、正弦函数的周期性、单调性、和值域问题，熟练掌握正弦型函数的图像和性质是关键，属于中档题20 （1） ； （2） 或 .【解析】【分析】根据题意，由三点的坐标求出直线 AB、 BC 的垂直平分线，联立直线的方程即可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，计算可得答案；根据题意，由直线与圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案【详解】根据题意， ， ， ，则 AB 的垂直平分线是 ，又由 ， ，则 BC 的方程为 ，BC 中点是 ，则 BC 的垂直平分线是 ，联立 ，解可得 ，即圆心 H 的坐标为 ，又由 ，则圆 H 的方程为 ；根据题意，若直
15、线 l 被圆 H 截得的弦长为 2，则圆心 H 到直线的距离 ，若直线 l 的斜率不存在，直线 l 的方程为 ，符合题意；- 15 -若直线 l 的斜率存在，设其方程为 ，有 ，解可得 ，则直线 l 的方程为 ，即 ，则直线 l 的方程为 或 【点睛】本题考查直线与圆的方程，涉及直线与圆的位置关系以及弦长的计算，属于基础题21 （）见证明；（） ，最短弦长为【解析】【分析】（）将直线方程整理为 ，根据 m 的任意性可知 ，即可证明直线过定点.（）根据直线 和圆心与定点连线 垂直时，弦长最短，即可解决.【详解】（） 将直线 的方程整理得： ，由于 的任意性， 解得： ，直线 恒过定点 .（）当直
16、线 和圆心与定点连线 垂直时，弦长最短，最短弦长为 ，此时直线的斜率为 ，解得： ，此时直线 的方程为 ，即 .【点睛】本题主要考查了过定点的直线系方程，圆的几何性质，属于中档题.22 （1） 或 （2）存在经过点 P 的直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点，且使得点 为线段 MN 的中点，此时直线 l 的方程为 .- 16 -【解析】【分析】（1）过圆外一点做圆的切线，要分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程后利用圆心到直线的距离等于半径即可求出，斜率不存在时，直接写出直线方程，检验即可（2）假设存在满足条件的直线 l，利用圆心与中点连线垂直可得直线斜率，再利用圆心到
17、直线的距离等于圆心与中点间距离，可求出 P 点横坐标，从而写出直线方程即可.【详解】（1）当过点 P 的切线的斜率存在时，设过点 P 的圆 C 的切线方程为 y4=k（x2） ，即 kxy2k+4=0，又圆 C：x 2+（y+4） 2=4，即圆心 C（0，4） ，半径 r=2，所以圆心 C 到切线的距离为 2，所以 =2，解得 k= ，此时切线的方程为 y4= （x2） ，即 15x8y+2=0当过点 P 的切线的斜率不存在时，过点 P 的圆 C 的切线方程为 x=2所以切线的方程为 15x8y+2=0 或 x=2（2）存在满足条件的直线 l因为弦 MN 的中点为（1，3） ，圆心 C（0，4） ，所以圆心与中点连线的斜率为 =1，则直线 l 的斜率为 1，故可设 P（x 0，4） ，直线 l 的方程为 y4=xx0，又圆心到直线 l 的距离为 ，解得 x0=10 或 x0=6，此时直线 l 的方程为 y4=x10 或 y4=x6又点（1，3）不在直线 y4=x10 上，故不满足题意，所以存在经过点 P 的直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点，且使得点（1，3）为线段 MN 的中点，- 17 -此时直线 l 的方程为 xy2=0【点睛】本题主要考查了过圆外一点求圆的切线，及圆的平几性质，直线方程的求法，属于中档题.
