1、1第四讲解题的化归原则清晰熟悉一、清晰原则，淘尽泥沙见真金问题是呈现给解题者的感性材料，可能是一种粗糙的、模糊的信息材料，这些材料在表达上具有非直观形象化、非数学语言化，在内容上具有隐蔽性、复杂性的特点，容易给解题者感知和思维活动造成障碍解题者面对这些粗糙的、模糊的信息材料，需要利用自己的认知经验对信息的表现形式和内容进行转化，使信息呈现出清晰的感性材料，这种加工处理信息的原则我们称为清晰原则信息材料通过清晰后，更适合解题者认知活动的心理需求，可以加速神经系统的传导，有利于新信息与认知结构的链接常见的清晰手段有：数学语言化：将问题信息用数学语言进行表达，便于运用数学方法来解决；数形结合：将问题
2、的信息用数形结合的方法进行描述，使信息表述得更详尽、更直观；形变化归：将复杂的信息进行形变化归，使复杂信息的内涵得到彻底挖掘和展示例 1 调查某个高中毕业班学生的升学报考志愿情况，得到如下结果：(1)报考 A 大学的学生不报考 B 大学；(2)报考 B 大学的学生也报考 D 大学；(3)报考 C 大学的学生不报考 D 大学；(4)不报考 C 大学的学生报考 B 大学根据上述结果，某人得出下述结论：报考 D 大学的学生也报考 A 大学没有既报考 B 大学又报考 C 大学的学生有既报考 C 大学又报考 D 大学的学生报考 B 大学的学生数和报考 D 大学的学生数相同报考 A 大学的学生也报考 C
3、大学这些结论中正确的是( )A BC D解析 此题信息繁多，让人感到有点云里雾里，虽然每项信息的含义简单明白，毫不隐蔽，人人都会用逻辑推理的方法去探求解答方案，但推理过程容易混乱且不便于表述，对问题产生排斥心理对此，我们先将各项信息进行数学语言易化处理，使问题的信息清晰直白，以观其变用 x 表示高中毕业班学生， “”表示报考， “”表示不报考此时调查结果可以改写为：(1)x AxB，再由原命题与逆否命题等价可知 x BxA.(2)x Bx D 等价转化为 xDxB.2(3)x CxD 等价转化为 x DxC.(4)xCx B 等价转化为 xBx C.这样处理后，问题的各项信息已经简洁明了我们对
4、问题新信息感到亲切、熟悉下面对 5 条结论信息也进行数学语言化处理，再结合条件信息进行推理：考查： x DxCx BxA，则不正确考查： x Bx DxC，则正确考查： x CxD，则不正确考查： x Bx D， x DxCx B，则正确考查： x AxBx C，则正确所以，答案 B 正确答案 B反思领悟 从此题的解答过程可以看出，对信息的数学语言化处理，使信息清晰明了，是成功解答此题的关键例 2 设 0 b1 a，若关于 x 的不等式( x b)2(ax)2的解集中恰有 3 个整数，求a 的取值范围解 此题中的( x b)2(ax)2是一个熟悉的二次不等式，但这个不等式的解集中恰有3 个整数
5、的条件是什么含义？我们首先对这一信息进行清晰化形变化归因为( x b)2(ax)2，所以 (a1) x b0.(xba 1)当 a1 时，不等式的解集中有无穷多个整数，不合题意当 a1 时，不等式的解为 x .b1 a ba 1因为 0 b1 a，所以 0 1.ba 1要使解集中恰有 3 个整数，则3 23( a1) b2(a1)b1 a通过信息清晰后，问题转化为已知Error!求 a 的取值范围如图，作出不等式组表示的可行域，容易得到 1 a3.综上， a 的取值范围为(1,3)3反思领悟 此题本是一个二次不等式问题，很多学生都考虑用不等式放缩法进行解答，又担心扩大了 a 的范围，即使得到
6、1 a3，也不敢坚信一定正确我们对“( x b)2(ax)2的解集中恰有 3 个整数”这一信息进行清晰，得到新信息“ a1 且 3(a1) b2(a1)” ，不仅顺利地将原问题转化为线性规划问题，而且还可以坚信答案是正确的二、熟悉原则，寻找曾经走过的路在加工处理信息的过程中，利用我们的认知经验对问题信息的表述形式或内容进行处理，转化为我们认知结构中熟悉的信息材料，这种处理信息的原则就是熟悉原则熟悉原则可分为两种：第一种是熟悉知识原则，就是把不熟悉的知识和问题转化为教材上或大家熟知的知识和问题第二种是熟悉经验原则，就是把不熟悉的知识和问题转化为解题者曾经解答过的问题例 3 设 f(x)是定义在
7、R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x) x2，若对任意x a， a2，不等式 f(x a) f(x1)恒成立，求实数 a 的取值范围14解 由于 f(x)是定义在 R 上的函数，现在只知道 x0 时的函数表达式首先对问题信息进行清晰，利用奇函数求出 x0 时的函数表达式，进一步得到 f(x)在 R 上的函数表达式 f(x)Error!利用数形结合再对函数进行信息清晰，可以发现 f(x)在 R 上单调递增，如图所示我们知道当 f(x)在 R 上单调递增， f(m) f(n)的充分必要条件是m n.现在问题信息 f(x a) f(x1)与认知经验 f(m) f(n)在形式上14存在差异，如果能
8、把 去掉，将不等式 f(x a) f(x1)化为 f(m) f(n)的形式，问题有14 14可能得到解决，这是熟悉经验原则观察 f(x)表达式的结构，容易发现 f(x) f ，于是原问题可以转化为：已知 f(x)14 (12x)在 R 上单调递增，对任意 x a， a2，不等式 f(x a) f 恒成立，求实数 a 的取(x 12 )值范围于是可得对任意 x a， a2，不等式 x a 恒成立x 12即对 x a， a2，不等式 x12 a 恒成立所以 a12 a，所以 a .134即实数 a 的取值范围为 .13， )反思领悟 上述解答最关键的一步是熟悉经验的运用，将 f(x a) f(x1
9、)化为14f(x a) f ，进一步化为“对 x a， a2，不等式 x12 a 恒成立” ，使问题化(x 12 )难为易，化陌生为熟悉，就可以顺利地用熟悉性知识解答例 4 在平面直角坐标系中，点集 MError!，点 P 是点集 M 内的点，设 A(2，1)，B(8，9)，则| PA|2| PB|2的最小值为_解析 由于问题中点集 M 的元素是坐标形式，而结论信息不是坐标形式，我们将结论信息用坐标表示，这样，条件和结论信息的表达形式保持一致，这就是熟悉知识原则的应用令 P(x， y)，可得| PA|2| PB|22 x22 y216 y12 x150.式类似我们熟悉的圆方程的左边，运用熟悉知
10、识原则，可以将上述式子进行配方，可得| PA|2| PB|22 2100.( x 3 2 y 4 2)观察式的结构，用熟悉知识原则， 表示点 P 到 N(3，4)的 x 3 2 y 4 2距离所以，问题可以转化为求| PN|的最小值再用熟悉经验原则，要求| PN|的最小值，只需求出点集 M 表示的几何图形，然后利用数形结合就可以顺利解答又用熟悉经验原则，要求点集 M 表示的几何图形，只需消去参数即可于是： x2 y2169120sin( )49 x2 y2289.所以，点集 M 表示的几何图形是以 O 为圆心，半径由 7 变到 17 的一个圆环，如图所示因为| PN|min7 2，32 42所以| PA|2| PB|22| PN|2100108.所以| PA|2| PB|2的最小值为 108.答案 1085
