1、1第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识批注理解深一点1函数的奇偶性 偶函数 奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x定义都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)是偶函数都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)是奇函数图象特征 关于 y 轴对称 关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件若 f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f( x) f(x)f( x) f(x)0 1 f(x)为偶函数；f xf x(2)f( x) f(x)f( x) f(x)0 1 f(x)为奇函数f xf x2函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存
2、在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期周期函数定义的实质存在一个非零常数 T，使 f(x T) f(x)为恒等式，即自变量 x 每增加一个 T 后，函数值就会重复出现一次(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二、常用结论汇总规律多一点21函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则一定有 f(0)0；如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有
3、相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量 x：(1)若 f(x a) f(x)，则 T2 a(a0)(2)若 f(x a) ，则 T2 a(a0)1f x(3)若 f(x a) ，则 T2 a(a0)1f x3函数图象的对称性(1)若函数 y f(x a)是偶函数，即 f(a x) f(a x)，则函数 y f(x)的图象关于直线 x a 对称(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a x) f(x)或 f( x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关于直线 x
4、 a 对称(3)若函数 y f(x b)是奇函数，即 f( x b) f(x b)0，则函数 y f(x)关于点(b,0)中心对称三、基础小题强化功底牢一点 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1)函数 y x2， x(0，)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)如果函数 f(x)， g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x) f(x) g(x)是偶函数( )(4)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称( )(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ， n0)也是函数的周期( )答案：(1)
5、(2) (3) (4) (5)(二)选一选1已知 f(x)满足 f(x2) f(x)，当 x0,1时， f(x)2 x，则 f 等于( )(92)3A. B.12 2C. D122解析：选 B 由 f(x2) f(x)，知函数 f(x)的周期 T2，则 f f 2 .(92) (12) 12 22函数 f(x) 2 x 的图象关于( )3xA y 轴对称 B直线 y x 对称C坐标原点对称 D直线 y x 对称解析：选 C 因为 f(x)的定义域为(，0)(0，)， f( x) (2 x)3 x2 x f(x)，所以 f(x) 2 x 是奇函数，所以其图象关于坐标原点对3x (3x 2x) 3
6、x称3已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数，那么 a b 的值是( )A B.13 13C. D12 12解析：选 B f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数， a12 a0， a .13又 f( x) f(x)， b0， a b .13(三)填一填4(2019武汉调研)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时， f(x) 2 x x2，则 f(2)_.解析：法一：函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(2) f(2)2 (2)(2) 2(44)8.法二：当 x0 时， x0 时， f(x) f( x)2 x x2， f(2
7、)2 22 28.答案：85.设奇函数 f(x)的定义域为5,5，当 x0,5时， f(x)的图象4如图所示，则不等式 f(x)0 时， f(x) x2 x，则当 x0，故 f( x) x2 x f(x)；当 x0 时， x0 时， f(x)( )A2 x B2 xC2 x D2 x(2)(2018贵阳摸底考试)已知函数 f(x) a (aR)是奇函数，则函数 f(x)的2ex 1值域为( )A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)解析 (1)当 x0 时， x0 时， f( x)2 x. f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) f( x)2 x.(2)法一：由 f(
8、x)是奇函数知 f( x) f(x)，所以 a a ，得2e x 1 2ex 12a ，所以 a 1，所以 f(x)1 .因为 ex11，2ex 1 2e x 1 1ex 1 exex 1 2ex 1所以 01，所以 00 时， f(x) x2 x，则当 x0，所以 f( x) x2 x.又因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x) f( x) x2 x 2 ，所以当 x0 时， f(x) x2 x 2 ，最小值为 ，因为函数 f(x)为奇函数，(x12) 14 14所以当 x0 的 x 的取值范围是_解析：当 x0 时，lg x0，所以 x1，当 x0 时， f(x)2 x23 x1，求 f(x)的解析式解：当 x0，则 f( x)2( x)23( x)12 x23 x1.由于 f(x)是奇函数，故 f(x) f( x)，所以当 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,314
