1、1第十一节函数与方程一、基础知识批注理解深一点1函数的零点(1)零点的定义：对于函数 y f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)的零点(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y f(x)有零点函数的零点不是函数 y f(x)与 x 轴的交点，而是 y f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2函数的零点存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，得 x2，所以函数 f(x)的定义域为(2，)，所以当 f(x)0，
2、即( x1)ln( x2)0 时，解得 x1(舍去)或 x3.3函数 f(x)ln x 的零点所在的大致区间是( )2xA(1,2) B(2,3)C. 和(3,4) D(4，)(1e， 1)解析：选 B 易知 f(x)为增函数，由 f(2)ln 210， f(3)ln 3 0，得23f(2)f(3)0，故函数 f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)(三)填一填4已知 2 是函数 f(x)Error!的一个零点，则 ff(4)的值是_解析：由题意知 log2(2 m)0， m1， ff(4) f(log23)2 3.3log3答案：35若函数 f(x) ax12 a 在区间(1,1)上存在一个
3、零点，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，函数 f(x)1 在(1,1)上没有零点，所以 a0.所以函数 f(x)是单调函数，要满足题意，只需 f(1) f(1)0， f(1) 0， f(e) e10，所以 f(1)f(2)1 时，有 2 个交点，符合题意综上， a 的取值范围为1，)答案 C考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围典例 (2019安庆摸底)若函数 f(x)4 x2 x a， x1,1有零点，则实数 a 的取值范围是_6解析 函数 f(x)4 x2 x a， x1,1有零点，方程 4x2 x a0 在1,1上有解，即方程 a4 x2 x在1,1上有解方程 a4 x2
4、 x可变形为 a 2 ，(2x12) 14 x1,1，2 x ，12， 2 2 .(2x12) 14 14， 2实数 a 的取值范围是 .14， 2答案 14， 2解题技法1利用函数零点求参数范围的 3 种方法直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法分离参数( a g(x)后，将原问题转化为 y g(x)的值域(最值)问题或转化为直线 y a 与 y g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解2.利用函数零点求参数范围的步骤题组训练1(2019北京西城区模拟)若
5、函数 f(x)2 x a 的一个零点在区间(1,2)内，则实2x数 a 的取值范围是( )A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：选 C 因为函数 f(x)2 x a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2x72 x a 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，可知函数 f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选 B.3(2018豫西南部分示范性高中联考)函数 f(x)ln x 的零点所在的区间为( )2x2A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)8解析：选 B 易知 f(x)ln x 的定义域为(0，)，且在定义域上单调递增2x2
6、f(1)20，12 f(1)f(2)0， f(b)( b c)(b a)0，由函数零点的存在性定理可知函数 f(x)的两个零点分别位于区间( a， b)和(b， c)内7函数 f(x)| x2|ln x 在定义域内的零点的个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 C 由题意可知 f(x)的定义域为(0，)在同一平面直角坐标系中作出函数 y| x2|( x0)， yln x(x0)的图象如图所示由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.8(2019郑州质量测试)已知函数 f(x)Error!( aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )9A(0,1 B1
7、，)C(0,1) D(，1解析：选 A 画出函数 f(x)的大致图象如图所示因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当 x0 时， f(x)有一个零点，需 00 时， f(x)有一个零点，需 a0.综上，0 a1.9已知函数 f(x) a 的零点为 1，则实数 a 的值为_23x 1解析：由已知得 f(1)0，即 a0，解得 a .231 1 12答案：1210已知函数 f(x)Error!则 f(x)的零点为_解析：当 x0 时，由 f(x)0，即 xln x0 得 ln x0，解得 x1；当 x0 时，由f(x)0，即 x2 x20，解得 x1
8、 或 x2.因为 x0，所以 x1.综上，函数 f(x)的零点为 1，1.答案：1，111(2019太原模拟)若函数 f(x)( m2) x2 mx(2 m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则实数 m 的取值范围是_解析：依题意并结合函数 f(x)的图象可知，Error!即Error!解得 m .14 12答案： (14， 12)12已知方程 2x3 x k 的解在1,2)内，则 k 的取值范围为_ 解析：令函数 f(x)2 x3 x k，则 f(x)在 R 上是增函数当方程 2x3 x k 的解在(1,2)内时， f(1)f(2)0，即(5 k)(10 k)0，解得 5k
9、10.当 f(1)0 时， k5.综上， k 的取值范围为5,10)答案：5,10)13已知 y f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0，)时， f(x) x22 x.(1)写出函数 y f(x)的解析式；(2)若方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围10解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x) x22 x.又因为 f(x)是奇函数，所以 f(x) f( x) x22 x.所以 f(x)Error!(2)方程 f(x) a 恰有 3 个不同的解，即 y f(x)与 y a 的图象有 3 个不同的交点作出 y f(x)与 y a 的图象如图所示，故若方程 f(x) a 恰有 3个不同的解，只需1 a1，故实数 a 的取值范围为(1,1)11
