1、1第十节对数函数一、基础知识批注理解深一点1对数函数的概念函数 ylog ax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0， ). ylog ax的 3个特征(1)底数 a0，且 a1；(2)自变量 x0；(3)函数值域为 R.2对数函数 ylog ax(a0，且 a1)的图象与性质底数 a1 01时，恒有 y0；当 01时，恒有 y0性质在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数注意 当对数函数的底数 a的大小不确定时，需分 a1和 00，且 a1)与对数函数 ylog ax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 y x对称二、常用结论汇总规律多一点对数函数
2、图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，( a,1)， ，依据这三点的坐标可得到对数函(1a， 1)2数的大致图象(2)函数 ylog ax与 ylog x(a0，且 a1)的图象关于 x轴对称1a(3)当 a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当 00， a1，函数 y ax与 ylog a( x)的图象可能是( )解析：选 B 函数 ylog a( x)的图象与 ylog ax的图象关于 y轴对称，符合条件的只有 B.2函数 ylg| x|( )A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递
3、增解析：选 B ylg| x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增3设 alog 23， blog 3， c3 2 ，则 a， b， c的大小关系是( )12A a b c B b a cC a c b D c b a3解析：选 C 因为 alog 231， blog 30， c3 2 0，但 c1，所以12132b c a.(三)填一填4函数 y 的定义域为_log0.5 4x 3解析：要使函数有意义，须满足Error!解得 0，且 a1)对 x 恒成立，求实数变 条 件 (0，12)a的取值范围解：设 f1(x) x2， f2(x)log ax，要使 x 时，不等式
4、 x21时，显然不成立；(0，12)当 0log2e a，1213所以 c a.因为 bln 2 1log 2e a，所以 a b.1log2e所以 c a b.答案 D解题技法比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同 常借助 1,0等中间量进行比较考法(二) 解简单对数不等式典例 已知不等式 logx(2x21)0，得1bc B acb7C cab D cba解析：选 C 01， cab.313 12132若定义在区间(1,0
5、)内的函数 f(x)log 2a(x1)满足 f(x)0，则实数 a的取值范围是( )A. B.(0，12) (0， 12C. D(0，)(12， )解析：选 A 10，00，若函数 f(x)log 3(ax2 x)在3,4上是增函数，则 a的取值范围是_解析：要使 f(x)log 3(ax2 x)在3,4上单调递增，则 y ax2 x在3,4上单调递增，且 y ax2 x0恒成立，即Error!解得 a .13答案： (13， )课 时 跟 踪 检 测 A级保大分专练1函数 y 的定义域是( )log3 2x 1 1A1,2 B1,2)C. D.23， ) (23， )解析：选 C 由Err
6、or!即Error!解得 x .232若函数 y f(x)是函数 y ax(a0，且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)( )Alog2 x B.12xClog x D2 x212解析：选 A 由题意知 f(x)log ax(a0，且 a1) f(2)1，log a21. a2. f(x)log 2x.3如果 log xy1.1224(2019海南三市联考)函数 f(x)|log a(x1)|( a0，且 a1)的大致图象是( )解析：选 C 函数 f(x)|log a(x1)|的定义域为 x|x1，且对任意的 x，均有f(x)0，结合对数函数的图象可知选 C.5(2018惠州调研)
7、若 a2 0.5， blog 3， clog 2sin ，则 a， b， c的大小关系25为( )A bca B bacC cab D abc解析：选 D 依题意，得 a1,01，得25cbc.6设函数 f(x)log a|x|(a0，且 a1)在(，0)上单调递增，则 f(a1)与 f(2)的大小关系是( )A f(a1) f(2) B f(a1) f(2)7已知 a0，且 a1，函数 ylog a(2x3) 的图象恒过点 P.若点 P也在幂函数2f(x)的图象上，则 f(x)_.解析：设幂函数为 f(x) x ，因为函数 ylog a(2x3) 的图象恒过点 P(2， )，2 2则 2 ，
8、所以 ，故幂函数为 f(x) x .212 12答案： x18已知函数 f(x)log a(x b)(a0，且 a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则logba_.9解析： f(x)的图象过两点(1,0)和(0,1)则 f(1)log a(1 b)0，且 f(0)log a(0 b)1，所以Error!即Error!所以 logba1.答案：19(2019武汉调研)函数 f(x)log a(x24 x5)( a1)的单调递增区间是_解析：由函数 f(x)log a(x24 x5)，得 x24 x50，得 x5.令 m(x) x24 x5，则 m(x)( x2) 29， m(x)在2，)上
9、单调递增，又由 a1及复合函数的单调性可知函数 f(x)的单调递增区间为(5，)答案：(5，)10设函数 f(x)Error!若 f(a) f( a)，则实数 a的取值范围是_解析：由 f(a) f( a)得Error!或Error!即Error!或Error!解得 a1 或1 a0.答案：(1,0)(1，)11求函数 f(x)log 2 log (2x)的最小值x 2解：显然 x0， f(x)log 2 log (2x) log2xlog2(4x2)x 212 log2x(log242log 2x)log 2x(log 2x)2 2 ，当且仅当 x 时，12 (log2x 12) 14 14
10、 22有 f(x)min .1412设 f(x)log a(1 x)log a(3 x)(a0，且 a1)，且 f(1)2.(1)求 a的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间 上的最大值0，32解：(1) f(1)2，log a42( a0，且 a1)， a2.由Error!得1 x3，函数 f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log 2(1 x)log 2(3 x)log 2(1 x)(3 x)log 2( x1) 24，当 x(1,1时， f(x)是增函数；10当 x(1,3)时， f(x)是减函数，故函数 f(x)在 上的最大值是 f(1)log 242.0，32B级创
11、高分自选1已知函数 f(x)log ax(a0，且 a1)满足 f f ，则 f 0的解集为( )(2a) (3a) (1 1x)A(0,1) B(，1)C(1，) D(0，)解析：选 C 因为函数 f(x)log ax(a0，且 a1)在(0，)上为单调函数，而 f ，所以 f(x)log ax在(0，)上单调递减，即 00，得 01，故选 C.(11x) 1x2若函数 f(x)log a (a0，且 a1)在区间 内恒有 f(x)0，则 f(x)的(x232x) (12， )单调递增区间为_解析：令 M x2 x，当 x 时， M(1，)， f(x)0，所以 a1，所以函32 (12， )
12、数 ylog aM为增函数，又 M 2 ，(x34) 916因此 M的单调递增区间为 .(34， )又 x2 x0，所以 x0或 x0时， f(x)log x.12(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x21)2.解：(1)当 x0，则 f( x)log ( x)12因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x) f( x)log ( x)，12所以函数 f(x)的解析式为 f(x)Error!11(2)因为 f(4)log 42， f(x)是偶函数，1所以不等式 f(x21)2 转化为 f(|x21|) f(4)又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，所以| x21|4，解得 x ，5 5即不等式的解集为( ， )5 51
