1、1第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识批注理解深一点1命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 一 个 命 题 要 么 是 真 命 题 , 要 么 是 假 命 题 , 不 能 模 棱 两 可 .2四种命题及其相互关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)如果 pq,则 p 是 q 的充分条件; A 是 B 的充分不必要条件是指: AB 且 B A; A 的充分不必要条件是 B 是指: BA 且 A B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误(2)如果 qp,则 p 是 q 的必要条件;(3)如果既有 p
2、q,又有 qp,记作 pq,则 p 是 q 的充要条件充要关系与集合的子集之间的关系设 A x|p(x), B x|q(x),若 AB,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件若 A B,则 p 是 q 的充要条件二、常用结论汇总规律多一点1四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明2等价转化法判断充分条件、必要条件p 是 q 的充分不必要条件,等价于綈 q 是綈 p 的充分不必要条件其他情况以此类2推三、基础小题强化功底牢一点 一 判 一 判 对
3、 的 打 “ ”, 错 的 打 “”(1)“x22 x8b,则 a cb c”的否命题是( )A若 a b,则 a c b c B若 a c b c,则 a bC若 a cb c,则 ab D若 ab,则 a c b c解析:选 A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若 a b,则 a c b c”3(2018唐山一模)若 xR,则“ x1”是“ 1 时, 1 或 x1”是“ 1 或 x1D若 x1 或 x1,则 x21解析:选 D 命题的形式是“若 p,则 q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题是“若綈 q,则綈 p”的形式,所以“若 x20, c0,且 ad
4、 bc,则a, b, c, d 不成等比数列(可以假设 a2, d3, b2, c3)若 a, b, c, d 成等比数列,则由等比数列的性质可知 ad bc.所以“ ad bc”是“ a, b, c, d 成等比数列”的必要而不充分条件5已知命题 :如果 x0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A m B00 D m1解析:选 C 若不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立,则 (1) 24 m ,14因此当不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立时,必有 m0,但当 m0 时,不一定推出不等式在R 上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是 m0.9在 ABC 中, “A B”是“
5、tan Atan B”的_条件解析:由 A B,得 tan Atan B,反之,若 tan Atan B,则A B k, kZ.0 A,03,但 22(2) 2,但30,若 p(1)是假命题, p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围为_解析:因为 p(1)是假命题,所以 12 m0,解得 m3.又 p(2)是真命题,所以 44 m0,解得 msin C 是 BC 的充要条件”是真命题;“ a1”是“直线 x ay0 与直线 x ay0 互相垂直”的充要条件;命题“若 x0”的否命题为“若 x1,则 x22 x30” 以上说法正确的是_(填序号)解析:对于, “若 x y ,则 sin xco
6、s y”的逆命题是“若 sin xcos y,则 2x y ”,当 x0, y 时,有 sin xcos y 成立,但 x y ,故逆命题为假命 2 32 32题,正确;对于,在 ABC 中,由正弦定理得 sin Bsin CbcBC,正确;对于, “a1”是“直线 x ay0 与直线 x ay0 互相垂直”的充要条件,故错误;对于,根据否命题的定义知正确答案:13写出命题“已知 a, bR,若关于 x 的不等式 x2 ax b0 有非空解集,则a24 b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假解:(1)逆命题:已知 a, bR,若 a24 b,则关于 x 的不等式 x2 ax b0 有非空解集,为真命题(2)否命题:已知 a, bR,若关于 x 的不等式 x2 ax b0 没有非空解集,则a24b,为真命题(3)逆否命题:已知 a, bR,若 a24b,则关于 x 的不等式 x2 ax b0 没有非空解集,为真命题11