1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义突破点一 命题及其关系基 本 知 识 1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)
2、“x22 x80，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是_答案：若方程 x2 x m0 没有实根，则 m03有下列几个命题：(1)“若 ab，则 ”的否命题；1a1b(2)“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；(3)“若| x|0caC如果 MN，那么 M N MD在 ABC 中，若 0，则 B 为锐角AB BC 解析 ysin 2x ， T ，故 A 为假命题；当 MN 时， M N N，1 cos 2x2 22故 C 为假命题；在三角形 ABC 中，当 0 时，向量 与 的夹角为锐角， BAB BC AB BC 应为钝角，故 D 为假命题，故选 B.答案 B方法技巧判断
3、命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断(2)当一个命题改写成“若 p，则 q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：3若由“ p”经过逻辑推理，得出“ q”，则可判定“若 p，则 q”是真命题；判定“若 p，则 q”是假命题，只需举一反例即可 考法二 四种命题的关系 例 2 (1)(2019长春质监)命题“若 x21 或 x1D若 x1 或 x1，则 x21(2)(2019广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是( )A命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“
4、若 x1，则 x2 x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题解析 (1)命题的形式是“若 p，则 q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈 q，则綈 p”的形式，所以“若 x2y，则 x|y|”的逆命题为“若 x|y|，则 xy”，是真命题，故 A 正确；命题“若 x1，则 x21”的否命题为“若 x1，则 x21” ，是假命题，故 B 错误；命题“若 x1，则 x2 x20”的否命题为“若 x1，则 x2 x20” ，是假命题，故 C 错误；命题“若 x20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x20” ，是假命题，故 D 错误选 A.答案 (1)D (2)A方法技巧
5、四种命题的关系及真假判断(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性(2)命题真假的判断方法直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例间接判断法：转化成等价命题，再判断 集 训 冲 关 1. 命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是( )考 法 二 4A若 ，则 tan 1 44B若 ，则 tan 1 4C若 tan 1，则 4D若 tan 1，则 4解析：选 C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知 C 正确2. 原命题为“若 z1， z2互为共轭复数，则|
6、z1| z2|”，关于其逆命题，考 法 一 、 二 否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：选 B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若| z1| z2|，当z11， z2 1 时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假故选 B.3. 定义“正对数”：ln xError!现有四个命题：考 法 一 若 a0， b0，则 ln (ab) bln a；若 a0， b0，则 ln (ab)ln aln b；若 a0， b0，则 ln ln aln b；(ab)若 a0， b0，则 ln (a b)ln a
7、ln bln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析：对于，当 a1 时， ab1，则 ln (ab)ln ab bln a bln a；当 00”是“ a0， b0”的_条件答案：必要不充分3 xy1 是 lg xlg y0 的_条件解析：lg xlg ylg( xy)0， xy1 且 x0， y0.所以“lg xlg y0”成立， xy1 必成立，反之无法得到 x0， y0.因此“ xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件答案：必要不充分4设 p， r 都是 q 的充分条件， s 是 q 的充要条件， t 是 s 的必要条件， t 是 r 的充分6条件，那么 p 是 t
8、的_条件， r 是 t 的_条件(用“充分不必要” “必要不充分” “充要”填空)解析：由题知 pqst，又 tr， rq，故 p 是 t 的充分不必要条件， r 是 t 的充要条件答案：充分不必要 充要全 析 考 法 考法一 充分条件与必要条件的判断 例 1 (1)(2018北京高考)设 a， b， c， d 是非零实数，则“ ad bc”是“a， b， c， d 成等比数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2018天津高考)设 xR，则“ ”是“ x31”的( )|x12| 12A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分
9、也不必要条件解析 (1) a， b， c， d 是非零实数，若 a0， c0，且 ad bc，则a， b， c， d 不成等比数列(可以假设 a2， d3， b2， c3)若 a， b， c， d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad bc.所以“ ad bc”是“ a， b， c， d 成等比数列”的必要而不充分条件(2)由 ，得 0 x1，则 0 x31，|x12| 12即“ ”“x31” ；|x12| 12由 x31，得 x1，当 x0 时， ，|x12| 12即“ x31” “ ”|x12| 12所以“ ”是“ x31”的充分而不必要条件|x12| 12答案 (1)B (2)A7方
10、法技巧 充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考法二 根据充分、必要条件求参数范围 例 2 (2019大庆质检)已知 p： x1 m， q：| x4|6.若 p 是 q 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是( )A(，1 B(，9C1,9 D9，)解析 由| x4|6，解得2 x10，因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以m110
11、，解得 m9.故选 D.答案 D方法技巧根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象 集 训 冲 关 1. 已知 m， n 为两个非零向量，则“ mn ”是“sin sin ”的( )考 法 一 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 D ， 均为第一象限角，满足
12、 ，但 sin sin ，因73 38此不满足充分性； ， 均为第一象限角，满足 sin sin ，但 0 且 a1，若“ a M”是“函数 f(x)log a|x1|在考 法 二 (0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间 M 可以是( )A(1，) B(1,2)C(0,1) D.(0，12)解析：选 D 由函数 f(x)log a|x1|在(0,1)上单调递增可知 03(x m)是 q： x23 x4m3， q 对应的集合 B x|41”是“3 a2a”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 因为 y x是增函数，又 a1，所以 a1，
13、所以 3a2a；若 3a2a，(32) (32)则 a1 0，所以 a0，所以“ a1”是“3 a2a”的充分不必要条件，故选 A.(32) (32)5已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；12 18若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线 x y10 与圆 x2 y2 相切12其中真命题的序号为( )A BC D解析：选 C 对于命题，设球的半径为 R，则 3 R3，故体积缩小到原来43 (R2) 18 43的 ，命题正确；18对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和 3,3,3 的平均数相同，但标准差不同
14、，命题不正确；对于命题，圆 x2 y2 的圆心(0,0)到直线 x y10 的距离 d ，等于圆12 12 22的半径，所以直线与圆相切，命题正确6(2019咸阳模拟)已知 p m1， q：直线 x y0 与直线 x m2y0 互相垂直，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 由题意得直线 x m2y0 的斜率是1，所以 1， m1. 1m2所以 p 是 q 的充分不必要条件故选 A.7(2019重庆调研)定义在 R 上的可导函数 f(x)，其导函数为 f( x)，则“ f( x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的( )10A
15、充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B f(x)为奇函数， f( x) f(x) f( x) f(x) f( x)， f( x) f( x)，即 f( x)为偶函数；反之，若 f( x)为偶函数，如 f( x)3 x2， f(x) x31 满足条件，但 f(x)不是奇函数，所以“ f( x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件故选 B.8(2019抚州七校联考) A， B， C 三个学生参加了一次考试， A， B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A， B， C 都没有及格则下列四个命题中为
16、 p 的逆否命题的是( )A若及格分不低于 70 分，则 A， B， C 都及格B若 A， B， C 都及格，则及格分不低于 70 分C若 A， B， C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D若 A， B， C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若A， B， C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分故选 C.9(2019济南模拟)原命题：“ a， b 为两个实数，若 a b2，则 a， b 中至少有一个不小于 1”，下列说法错误的是( )A逆命题为： a， b为两个实数，若 a， b中至少有一个不小于 1，
17、则 a b2 ，为假命题B否命题为： a， b 为两个实数，若 a b2，又 p 是 q 的充分不必要条件，所以 k2，即实数 k 的取值范围是(2，)，故选 B.1111在原命题“若 A B B，则 A B A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：逆命题为“若 A B A，则 A B B”；否命题为“若 A B B，则 A B A”；逆否命题为“若 A B A，则 A B B”全为真命题答案：412已知命题“若 m1a，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析： p： x1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 pq，但 q p，也就是说， p 对应的
18、集合是 q 对应的集合的真子集，所以 a1.答案：(，1)14(2019湖南十校联考)已知数列 an的前 n 项和 Sn Aqn B(q0)，则“A B”是“数列 an为等比数列”的_条件解析：若 A B0，则 Sn0，数列 an不是等比数列如果 an是等比数列，由 a1 S1 Aq B，得a2 S2 a1 Aq2 Aq， a3 S3 S2 Aq3 Aq2， a1a3 a ，从而可得 A B，2故“ A B”是“数列 an为等比数列”的必要不充分条件答案：必要不充分15(2019湖南长郡中学模拟)已知函数 f(x)4sin 2 2 cos ( 4 x) 32x1， p： x ， q：| f(x) m|2，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范 4 2围解：化简解析式，得 f(x)4 2 cos 2x12sin 2x2 cos 1 cos 2( 4 x)2 3 3122x14sinError!2 x Error!1. 3当 x 时， 2 x ， 4 2 6 3 23则 sin 1，所以 f(x)3,512 (2x 3)当| f(x) m|2 时， f(x)( m2， m2)又 p 是 q 的充分不必要条件，所以Error!所以 3m5.即实数 m 的取值范围为(3,5).13
