1、1第一节集合1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性 .(2)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N*或 N Z Q R2集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言 记法子集集合 A 的元素都是集合 B 的元素 x Ax BAB或 BA 基本关系 真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于 AAB，且 x0 B，x0AA B 或 B A相等 集合 A， B 的元素完全相同 AB， BA A B空集不含
2、任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集x， x， A， B(B)3集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集符号表示 A B A B若全集为 U，则集合 A 的补集为 UA图形表示意义 x|x A，或 x B x|x A，且 x B x|x U，且 xA元素互异性，即集合中不可能出现相同的元素此性质常用于题目中对参数的取舍任何集合是其自身的子集(1)注意，0和 的区别：是集合，不含任何元素；0含有一个元素 0； 含2有一个元素，且 和都正确(2)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若AB，则要考虑 A 和 A两种可能.(1)求
3、集合 A 的补集的前提是“ A 是全集 U 的子集” ，集合 A 其实是给定的条件从全集 U 中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为 UA.(2)补集 UA 是针对给定的集合 A 和 U(AU)相对而言的一个概念，一个确定的集合 A，对于不同的集合 U，它的补集不同.熟记常用结论1 AB， BCAC； A B， B CA C.2含有 n 个元素的集合 A a1， a2， an有 2n个子集，有 2n1 个真子集，有2n2 个非空真子集3 A A， A A A， A B B A， A(A B)， B(A B)4 A ， A A A， A B B A， A BA， A BB.5 A
4、B A BA B.6 ABA B AA B B(UA)(UB)A( UB) .7( UA)( UB) U(A B)，( UA)( UB) U(A B)8 A UA U， A UA， U(UA) A， AA， A A.小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)x|x1 t|t1( )(2)x|y x21 y|y x21( x， y)|y x21( )(3)任何一个集合都至少有两个子集( )(4)若 A B A C，则 B C.( )答案：(1) (2) (3) (4)二、选填题1设集合 A x|2 x2，Z 为整数集，则集合 AZ 中元素的个数是( )A3 B4 C5 D6解析：选
5、 C A 中包含的整数元素有2，1,0,1,2，共 5 个，所以 AZ 中的元素个数为 5.2已知集合 A y|y| x|1， xR， B x|x2，则下列结论正确的是( )A3 A B3 B C A B B D A B B解析：选 C 由题意知 A y|y1， B x|x2，故 A B x|x2 B.3设全集 U1,2,3,4，集合 S1,3， T4，则( US) T( )3A2,4 B4 C D1,3,4解析：选 A 由补集的定义，得 US2,4，从而( US) T2,4，故选 A.4集合1,0,1共有_个子集解析：因为集合有 3 个元素，所以集合共有 238 个子集答案：85已知集合 A
6、 m2,2 m2 m，若 3 A，则 m 的值为_解析：由题意得 m23 或 2m2 m3，则 m1 或 m .当 m1 时， m23 且322m2 m3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当 m 时， m2 ，而32 122m2 m3，故 m .32答案：32考点一基础自学过关 集合的含义及表示题组练透1(2018全国卷)已知集合 A( x， y)|x2 y23， xZ， yZ，则 A 中元素的个数为( )A9 B8C5 D4解析：选 A 法一：将满足 x2 y23 的整数 x， y 全部列举出来，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,
7、0)，(1,1)，共有 9 个故选 A.法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2 y23 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A.2若集合 A xR| ax23 x20中只有一个元素，则 a( )A. B.92 98C0 D0 或984解析：选 D 当 a0 时，显然成立；当 a0 时， (3) 28 a0，即 a .983设 a， bR，集合1， a b， a ，则 b a( )0，ba， bA1 B1C2 D2解析：选 C 因为1， a b， a ， a0，所以 a b0，则 1，所以0，ba， b baa1， b1，所以 b a2.4已
8、知集合 A xN|1 xlog 2k，若集合 A 中至少有 3 个元素，则 k 的取值范围为( )A(8，) B8，)C(16，) D16，)解析：选 C 因为集合 A 中至少有 3 个元素，所以 log2k4，所以 k2416，故选 C.名师微点与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考点二师生共研过关 集合的基本关系典例精析(1)设 P y|y x21
9、， xR， Q y|y2 x， xR，则( )A PQ B QPC RPQ D QRP(2)已知集合 A x|2 x5， B x|m1 x2 m1，若 BA，则实数 m 的取值范围为_解析 (1)因为 P y|y x21， xR y|y1， Q y|y2 x， xR y|y0，所以 RP y|y1，所以 RPQ，故选 C.(2) BA，若 B，则 2m1 m1，此时 m2.若 B，则Error! 解得 2 m3.由可得，符合题意的实数 m 的取值范围为(，3答案 (1)C (2)(，35变 式 发 散 1(变条件)在本例(2)中，若“ BA”变为“ B A”，其他条件不变，如何求解？解： B
10、A，若 B，成立，此时 m2.若 B，则Error! 或Error!解得 2 m3.由可得 m 的取值范围为(，32(变条件)在本例(2)中，若“ BA”变为“ AB”，其他条件不变，如何求解？解：若 AB，则Error!即Error!所以 m 的取值范围为.解题技法1集合间基本关系的 2 种判定方法和 1 个关键两种方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系一个关键关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系2根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的
11、元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到过关训练1设 M 为非空的数集， M1,2,3，且 M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 M共有( )A6 个 B5 个C4 个 D3 个解析：选 A 由题意知， M1，3，1,2，1,3，2,3，1,2,32已知集合 A1,2， B x|x2 mx10， xR，若 BA，则实数 m 的取值范围为_解析：若 B，则 m240，解得2 m2.若 1 B，则
12、12 m10，解得 m2，此时 B1，符合题意；6若 2 B，则 222 m10，解得 m ，此时 B ，不合题意52 2， 12综上所述，实数 m 的取值范围为2,2)答案：2,2)考点三师生共研过关 集合的基本运算典例精析(1)(2018天津高考)设集合 A1,2,3,4， B1,0，2,3， C xR|1 x2，则( A B) C( )A1,1 B0,1C1,0,1 D2,3,4(2)已知集合 A x|x2 x120， B x|x m若 A B x|x4，则实数 m 的取值范围是( )A(4,3) B3,4C(3,4) D(，4解析 (1) A1,2,3,4， B1,0,2,3， A B
13、1,0,1,2,3,4又 C xR|1 x2，( A B) C1,0,1(2)集合 A x|x3 或 x4， A B x|x4，3 m4，故选 B.答案 (1)C (2)B解题技法1集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解对于端点处的取舍，可以单独检验2集合的交、并、补运算口诀 交 集 元 素 仔 细 找 ， 属 于 A且 属 于 B；并 集 元 素 勿 遗 漏 ， 切 记 重 复 仅 取 一 ；全 集 U是 大 范 围 ， 去 掉 U中 a元 素 ， 剩 余 元 素 成 补
14、集 .过关训练1口诀第 1 句集合 M y|y x2， xR， N x|x2 y22， xR，则 M N( )A(1，1)，(1，1) B1C1,0 D ，027解析：选 D 由 y x2， xR，得 y0，所以集合 M(，0，由x2 y22， xR，得 N ， ，所以 M N ，0，故选 D.2 2 22口诀第 2 句若集合 A x|1 x1， xR， B x|y ， xR，则x 2A B( )A0,1) B(1，)C(1,1)2，) D解析：选 C 由题意得 B x|x2，所以 A B x|1 x1 或 x23口诀第 3 句已知集合 A x|x2 x20，则 RA ( )A x|1 x2
15、B x|1 x2C x|x1 x|x2 D x|x1 x|x2解析：选 B x2 x20，( x2)( x1)0， x2 或 x1，即 A x|x2 或 x1则 RA x|1 x2故选 B.4设集合 M x|1 x2， N x|x a，若 M N，则实数 a 的取值范围是_解析： M x|1 x2， N x|x a，且 M N， a1.答案：(1，)考点四师生共研过关 集合的新定义问题典例精析(1)如图所示的 Venn 图中， A， B 是两个非空集合，定义集合 AB 为阴影部分表示的集合若 x， yR， A x|y ，2x x2B y|y3 x， x0，则 AB 为( )A x|0 x2 B
16、 x|1 x2C x|0 x1 或 x2 D x|0 x1 或 x2(2)给定集合 A，若对于任意 a， b A，有 a b A，且 a b A，则称集合 A 为闭集合，给出如下三个结论：集合 A4，2,0,2,4为闭集合；集合 A n|n3 k， kZ为闭集合；若集合 A1， A2为闭集合，则 A1 A2为闭集合其中正确结论的序号是_解析 (1)因为 A x|0 x2， B y|y1， A B x|x0，8A B x|1 x2，所以 AB A B(A B) x|0 x1 或 x2(2)中，4(2)6 A，所以不正确；中，设n1， n2 A， n13 k1， n23 k2， k1， k2Z，则
17、 n1 n2 A， n1 n2 A，所以正确；中，令 A1 n|n3 k， kZ， A2 n|n k， kZ，则 A1， A2为闭集合，但23k k(A1 A2)，故 A1 A2不是闭集合，所以不正确2答案 (1)D (2)解题技法解决集合新定义问题的 2 个策略紧扣新定义先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在用好集合的性质集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用
18、好集合的性质过关训练1定义集合的商集运算为 ，已知集合 A2,4,6，AB x|x mn， m A， n B)B ，则集合 B 中的元素个数为( )x|xk2 1， k A) BAA6 B7C8 D9解析：选 B 由题意知， B0,1,2， ，BA 0， 12， 14， 16， 1， 13则 B ，BA 0， 12， 14， 16， 1， 13， 2共有 7 个元素，故选 B.2设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P Q x|x P，且 xQ，如果 P x|log2x1，Q x|x2|1，那么 P Q( )A x|0 x1 B x|0 x1C x|1 x2 D x|2 x3解析：选 B 由
19、log2x1，得 0 x2，所以 P x|0 x2由| x2|1，得 1 x3，所以 Q x|1 x39由题意，得 P Q x|0 x1. 课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1已知集合 M x|x2 x20， N0,1，则 M N( )A2,0,1 B1C0 D解析：选 A 集合 M x|x2 x20 x|x2 或 x12,1， N0,1，则 M N2,0,1故选 A.2设集合 A x|x2 x20，集合 B x|1 x1，则 A B( )A1,1 B(1,1C(1,2) D1,2)解析：选 B A x|x2 x20 x|1 x2， B x|1 x1， A B x|1 x1故选 B.3设集
20、合 M x|x2 k1， kZ， N x|x k2， kZ，则( )A M N B MNC NM D M N解析：选 B 集合 M x|x2 k1， kZ奇数， N x|x k2， kZ整数， MN.故选 B.4.设集合 U1,2,3,4,5， A2,4， B1,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是( )A4 B2,4C4,5 D1,3,4解析：选 A 图中阴影部分表示在集合 A 中但不在集合 B 中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是 A( UB)4，故选 A.5(2018湖北天门等三地 3 月联考)设集合 A1,2,3， B4,5，M x|x a b， a A， b B，则 M
21、中元素的个数为( )A3 B4C5 D6解析：选 B a1,2,3， b4,5，则 M5,6,7,8，即 M 中元素的个数为 4，故选 B.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知集合 M x|ylg(2 x)， N y|y ，则( )1 x x 110A MN B NMC M N D N M解析：选 B 集合 M x|ylg(2 x)(，2)， N y|y 0，1 x x 1 NM.故选 B.2(2019皖南八校联考)已知集合 A( x， y)|x24 y， B( x， y)|y x，则A B 的真子集个数为( )A1 B3C5 D7解析：选 B 由Error!得Error!或Error
22、!即 A B(0,0)，(4,4)， A B 的真子集个数为 2213.3已知集合 P y|y2 y20， Q x|x2 ax b0若 P QR，且 P Q(2,3，则 a b( )A5 B5C1 D1解析：选 A 因为 P y|y2 y20 y|y2 或 y1由 P QR 及P Q(2,3，得 Q1,3，所以 a13， b13，即a2， b3， a b5，故选 A.4已知集合 M ，集合 N ，则( )x|xk4 4， k Z) x|x k8 4， k Z)A M N B MNC NM D M N M解析：选 B 由题意可知， M x|x 2k 4 8 4， k Z)， N ，所以x|x2n
23、8 4， n Z) x|x 2k8 4或 x 2k 1 8 4， k Z)MN，故选 B.5(2018安庆二模)已知集合 A1,3， a， B1， a2 a1，若 BA，则实数a( )A1 B2C1 或 2 D1 或1 或 2解析：选 C 因为 BA，所以必有 a2 a13 或 a2 a1 a.若 a2 a13，则 a2 a20，解得 a1 或 a2.当 a1 时， A1,3，1， B1,3，满足条件；当 a2 时， A1,3,2， B1,3，满足条件11若 a2 a1 a，则 a22 a10，解得 a1，此时集合 A1,3,1，不满足集合中元素的互异性，所以 a1 应舍去综上， a1 或 2
24、.故选 C.6(2018合肥二模)已知 A1，)， BError!，若 A B ，则实数 a 的取值范围是( )A1，) B.12， 1C D(1，)23， )解析：选 A 因为 A B，所以Error!解得 a1.(二)难点专练适情自主选7已知全集 U xZ|0 x8，集合 M2,3,5， N x|x28 x120，则集合1,4,7为( )A M( UN) B U(M N)C U(M N) D( UM) N解析：选 C 由已知得 U1,2,3,4,5,6,7， N2,6， M( UN)2,3,51,3,4,5,73,5， M N2， U(M N)1,3,4,5,6,7 ， M N2,3,5,
25、6，U(M N)1,4,7，( UM) N1,4,6,72,66，故选 C.8(2018日照联考)已知集合 MError!， NError!，则 M N( )A B(4,0)，(3,0)C3,3 D4,4解析：选 D 由题意可得 M x|4 x4， N y|yR，所以 M N4,4故选 D.9(2019河南八市质检)在实数集 R 上定义运算*： x*y x(1 y)若关于 x 的不等式 x*(x a)0 的解集是集合 x|1 x1的子集，则实数 a 的取值范围是( )A0,2 B2，1)(1,0C0,1)(1,2 D2,0解析：选 D 依题意可得 x(1 x a)0.因为其解集为 x|1 x1
26、的子集，所以当a1 时，01 a1 或11 a0，即1 a0 或2 a1.当 a1 时，x(1 x a)0 的解集为空集，符合题意所以2 a0.10非空数集 A 满足：(1)0 A；(2)若 x A，有 A，则称 A 是“互倒集” 给出以1x下数集： xR| x2 ax10； x|x24 x10；12Error!；Error!.其中“互倒集”的个数是( )A4 B3C2 D1解析：选 C 对于，当2 a2 时为空集，所以不是“互倒集” ；对于， x|x24 x10 x|2 x2 ，所以 ，即3 312 3 1x 12 32 2 ，所以是“互倒集” ；对于， y 0，故函数 y 是增31x 3
27、1 ln xx2 ln xx函数，当 x 时， ye,0)，当 x(1，e时， y ，所以不是“互倒集” ；1e， 1) (0， 1e对于， y 且 ，所以 是“互倒集” 故选 C.25， 125) 2， 52 25， 52 1y 25， 5211已知集合 A x|33 x27， B x|log2x1(1)分别求 A B，( RB) A；(2)已知集合 C x|1 x a，若 CA，求实数 a 的取值范围解：(1)33 x27，即 313 x3 3，1 x3， A x|1 x3log 2x1，即 log2xlog22， x2， B x|x2 A B x|2 x3 RB x|x2，( RB) A x|x3(2)由(1)知 A x|1 x3， CA.当 C 为空集时，满足 CA， a1；当 C 为非空集合时，可得 1 a3.综上所述，实数 a 的取值范围是(，313
