1、1第一节 集合一、基础知识批注理解深一点1集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(3)元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 . (4)五个特定的集合及其关系图：N*或 N 表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集2集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合 A， B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 AB(或 BA)(2)真子集：如果集合 A
2、是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称A 是 B 的真子集，记作 A B 或 B A.A BError!既要说明 A 中任何一个元素都属于 B，也要说明 B 中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果 AB，并且 BA，则 A B.两集合相等： A BError!A 中任意一个元素都符合 B 中元素的特性， B 中任意一个元素也符合 A 中元素的特性 (4)空集：不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集记作 .0，0， 之间的关系： ，0 ，0 ,00，023集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有
3、元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A B，即 A B x|x A，且 x B(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A B，即 A B x|x A，或 x B(3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 UA，即 UA x|x U，且 xA求集合 A 的补集的前提是“ A 是全集 U 的子集” ，集合 A 其实是给定的条件.从全集 U中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为 UA.二、常用结论汇总规律多一
4、点(1)子集的性质： AA， A， A BA， A BB.(2)交集的性质： A A A， A， A B B A.(3)并集的性质： A B B A， A BA， A BB， A A A， A A A.(4)补集的性质： A UA U， A UA ， U(UA) A， AA ， A A.(5)含有 n 个元素的集合共有 2n个子集，其中有 2n1 个真子集，2 n1 个非空子集(6)等价关系： A B AAB； A B AAB.三、基础小题强化功底牢一点 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1)若 x2,10,1，则 x0,1.( )(2)x|x1 t|t1( )(3)x|
5、y x21 y|y x21( x， y)|y x21( )(4)任何一个集合都至少有两个子集( )(5)若 A B，则 AB 且 A B.( )(6)对于任意两个集合 A， B，关系( A B)(A B)恒成立( )(7)若 A B A C，则 B C.( )答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)(二)选一选1已知集合 A xR|03，则 A B_.解析：由集合交集的定义可得 A B x|20 时，因为 A x|10， B x|2 x2，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A x|2 x4，因此 RA x|1 x4，题中的阴影部分所表示的集合为 (RA) B x|1 x
6、2答案 (1)C (2)D解题技法 集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解对于端点处的取舍，可以单独检验(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集 U 是大范围，去掉 U 中 a 元素，剩余元素成补集考法(二) 根据集合运算结果求参数典例 (1)已知集合 A x|x2 x120， B x|x m若 A B x|x4，则实数 m 的取值范围是( )A(4,3) B3,4C(3,4) D(，4(2)(2019河南
7、名校联盟联考)已知 A1,2,3,4， B a1,2 a，若 A B4，则a( )A3 B2C2 或 3 D3 或 1解析 (1)集合 A x|x4， A B x|x4，3 m4，故选 B.(2) A B4， a14 或 2a4.若 a14，则 a3，此时 B4,6，符合题意；若 2a4，则 a2，此时 B3,4，不符合题意综上， a3，故选 A.答案 (1)B (2)A解题技法根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取
8、到(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围题组训练81已知集合 A1,2,3， B x|(x1)( x2)0，所以该方程有两个不相等的实根，所以 A B 中含有 2 个元素答案：212已知集合 A x|log2x2， B x|x a，若 AB，则实数 a 的取值范围是_11解析：由 log2x2，得 0 x4，即 A x|0 x4，而 B x|x a，由于 AB，在数轴上标出集合 A， B，如图所示，则 a4.答案：(4，)13设全集 UR， A x|1 x3， B x|2x4， C x|a x a1(1)分别求 A B， A( UB)；(2)若 B C B，求实数 a 的取值范围解：(1)由题意知， A B x|1 x3 x|2x4 x|2x3易知 UB x|x2或 x4，所以 A( UB) x|1 x3 x|x2 或 x4 x|x3 或 x4(2)由 B C B，可知 CB，画出数轴(图略)，易知 2aa14，解得 2a3.故实数 a 的取值范围是(2,3)12
