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    (江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案(理)(含解析).doc

    • 资源ID:1212966       资源大小:2.72MB        全文页数:13页
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    (江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案(理)(含解析).doc

    1、1第七节 对数与对数函数1对数概念如果 ax N(a0,且 a1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlog aN,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数,log aN 叫做对数式对数式与指数式的互化: ax Nxlog aN性质loga10,log aa1, alogaN Nloga(MN)log aMlog aNloga log aMlog aNMN运算法则logaMn nlogaM(nR)a0,且 a1, M0, N0换底公式 换底公式:logab (a0,且 a1, c0,且 c1, b0)logcblogca2.对数函数的图象与性质ylog ax a1 0 a1图象定

    2、义域为(0,)值域为 R过定点(1,0),即 x 时, y1 0当 x1 时, y0;当 0 x1 时, y0当 0 x1 时, y0当 x1 时, y0;性质在区间(0,)上是 函数增 在区间(0,)上是 函数减3反函数指数函数 y ax(a0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1)互为反函数,它们的图象关于直线 y x 对称小题体验1已知 a0,且 a1,函数 y ax与 ylog a( x)的图象可能是_(填序号)2答案:2函数 f(x)log a(x2)2( a0,且 a1)的图象必过定点_答案:(1,2)3函数 f(x)log 5(2x1)的单调增区间是_答案: (1

    3、2, )4(1)2log 3 log 3 31log 32_;2 427(2)4 (lg 2lg 5)_.12答案:(1)5 (2)11在运算性质 logaM logaM 中,要特别注意条件,在没有 M0 的条件下应为logaM loga|M|( N *,且 为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围小题纠偏1函数 y 的定义域为_log0.5 4x 3答案: (34, 12函数 f(x)log (x1) (2x1)的单调递增区间是_答案: (12, )3已知函数 ylog a(2 ax)(a0,且 a1)在0,1上为减函数,则

    4、a 的取值范围为_解析:因为 a0,所以 g(x)2 ax 为减函数,即任取 x1, x20,1,且 x1 x2,有 g(x1) g(x2),又 logag(x1)log ag(x2),所以 a1.而又因为 g(x)2 ax 在0,1恒大于 0,所以 2 a0,所以 a2,综上,1 a2.答案:(1,2)3考 点 一 对 数 式 的 化 简 与 求 值 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1计算:(1)4log 23_.(2)log225log34log59_.解析:(1)4log 2322log 232log 299(2)原式 lg 25lg 2 lg 4lg 3 lg 9l

    5、g 5 8.2lg 5lg 2 2lg 2lg 3 2lg 3lg 5答案:(1)9 (2)82计算 10012_.(lg 14 lg 25)解析:原式(lg 2 2 lg 5 2)100lg 10lg 10 2 101225221020.答案:203. lg lg lg _.12 3249 43 8 245解析: lg lg lg12 3249 43 8 245 (5lg 22lg 7) 3lg 2 (lg 52lg 7)12 43 12 12 (lg 2lg 5) .12 12答案:12谨记通法对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简;(2)将同底对数的和、差、倍合并;

    6、(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用考 点 二 对 数 函 数 的 图 象 及 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领41(2018苏北三市三模)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2, BC 平行于 x 轴,顶点A, B 和 C 分别在函数 y13log ax, y22log ax 和 y3log ax(a1)的图象上,则实数 a 的值为_解析:设 C(x0,log ax0),则 2logaxBlog ax0,即 x x0,解得 xB ,2B x0故 xC xB x0 2,解得 x04,x0即 B(2,2loga2

    7、), A(2,3loga2),由 AB2,可得 3loga22log a22,解得 a .2答案: 22若不等式 logax( x1) 2恰有三个整数解,则 a 的取值范围为_解析:由不等式 logax( x1) 2恰有三个整数解,得 a1.在同一直角坐标系中画出 ylog ax(a1)与 y( x1) 2的图象,可知不等式的整数解集为2,3,4,则应满足Error!解得 a .165 94答案: , )165 94由题悟法研究对数型函数图象的思路(1)研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到特别地,要注意底数 a1 或 0 a1 这两种不同情况(

    8、2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解即时应用(2018常州一中模拟)设 f(x)|lg x|, a, b 为实数,且 0 a b.(1)若 a, b 满足 f(a) f(b),求证: ab1;(2)在(1)的条件下,求证:由关系式 f(b)2 f 所得到的关于 b 的方程 g(b)(a b2 )0,存在 b0(3,4),使 g(b0)0.证明:(1)结合函数图象,由 f(a) f(b)可判断 a(0,1),b(1, ),从而lg alg b,即 lg ab0.故 ab1.(2)因为 0 a b,所以 1.a b2 ab由已知可得 b 2,即 4b a2

    9、b22 ab,得 b224 b0, g(b)(a b2 ) 1b25 b224 b,因为 g(3)0, g(4)0,根据零点存在性定理可知,函数 g(b)在(3,4)1b2内一定存在零点,即存在 b0(3,4),使 g(b0)0.考 点 三 对 数 函 数 的 性 质 及 应 用 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向高考对对数函数的性质及其应用的考查,多以填空题的形式考查,难度低、中、高档都有常见的命题角度有:(1)比较对数值的大小;(2)简单的对数不等式;(3)对数函数性质的综合问题 题点全练角度一:比较对数值的大小1已知 alog 29log 2 , b1log 2 , c

    10、 log 2 ,则 a, b, c 的大小关系3 712 13为_(用“”表示)解析: alog 29log 2 log 23 ,3 3b1log 2 log 22 , c log 2 log 2 ,7 712 13 26因为函数 ylog 2x 是增函数,且 2 3 ,7 3 26所以 b a c.答案: b a c角度二:简单的对数不等式2(2018启东联考)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为(,1)(2,),则 f(lg x)0 的解集为_解析:因为一元二次不等式 f(x)0 的解集为(,1)(2,),所以一元二次不等式 f(x)0 的解集为(1,2),由 f(lg x)0 可得

    11、1lg x2,从而解得 10 x100,所以不等式的解集为(10,100)答案:(10,100)角度三:对数函数性质的综合问题3(2019盐城中学第一次检测)已知函数 f(x)lg(2 x)lg(2 x)(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性;(2)记函数 g(x)10 f(x)3 x,求函数 g(x)的值域;(3)若不等式 f(x) m 有解,求实数 m 的取值范围解:(1)函数 f(x)lg(2 x)lg(2 x),6Error! 解得2 x2.函数 f(x)的定义域为(2,2) f( x)lg(2 x)lg(2 x) f(x), f(x)是偶函数(2) f(x)lg

    12、(2 x)lg(2 x)lg(4 x2), g(x)10 f(x)3 x x23 x4 2 (2 x2),(x32) 254 g(x)max g , g(x)min g(2)6.(32) 254函数 g(x)的值域是 .( 6,254(3)不等式 f(x) m 有解, m f(x)max,令 t4 x2,由于2 x2,0 t4, mlg 4.实数 m 的取值范围为(,lg 4)通法在握1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式

    13、化为同底后,再进行比较(3)若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较演练冲关1(2019苏州模拟)已知函数 f(x)log ax2 a|x|(a0,且 a1),若 f(3) f(4),则不等式 f(x23 x) f(4)的解集为_解析:易知函数 f(x)的定义域为(,0)(0,), f( x)log ax2 a|x| f(x), f(x)在定义域上为偶函数, f(3) f(3) f(3) f(4), f(3) f(4), a1, f(x)在(0,)上单调递增故不等式 f(x23 x) f(4)满足Error!解得1 x4,且 x0, x3.故不等式 f(x23 x) f(4)的解

    14、集为(1,0)(0,3)(3,4)7答案:(1,0)(0,3)(3,4)2已知函数 f(x)log 4(ax22 x3)(1)若 f(1)1,求 f(x)的单调区间;(2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由解:(1)因为 f(1)1,所以 log4(a5)1,因此 a54, a1,这时 f(x)log 4( x22 x3)由 x22 x30,得1 x3,函数 f(x)的定义域为(1,3)令 g(x) x22 x3,则 g(x)在(1,1)上递增,在(1,3)上递减又 ylog 4x 在(0,)上递增,所以 f(x)的单调递增区间是(1,1)

    15、,递减区间是(1,3)(2)假设存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0,则 h(x) ax22 x3 应有最小值 1,因此应有Error!解得 a .12故存在实数 a ,使 f(x)的最小值为 0.12 一抓基础,多练小题做到眼疾手快1(2018淮安调研)函数 f(x)log 2(3x1)的定义域为_解析:由 3x10,解得 x ,所以函数 f(x)的定义域为 .13 (13, )答案: (13, )2函数 f(x)log 3(x22 x10)的值域为_解析:令 t x22 x10( x1) 299,故函数 f(x)可化为 ylog 3t, t9,此函数是一个增函数,其最小值为 log39

    16、2,故 f(x)的值域为2,)答案:2,)3计算 log23log34( ) 3log4log34_.3解析:log 23 log34( ) 3l 3 31log4223log 32224.3lg 3lg 2 2lg 2lg 3答案:484(2019长沙调研)已知函数 ylog a(x3)1( a0, a1)的图象恒过定点 A,若点 A 也在函数 f(x)3 x b 的图象上,则 f(log32)_.解析:函数 ylog a(x3)1( a0, a1)的图象恒过定点 A(2,1),将x2, y1 代入 f(x)3 x b,得 32 b1, b , f(x)3 x ,109 109则 f(log

    17、32)3log 32 2 .109 109 89答案:895若函数 f(x)Error!( a0,且 a1)的值域是4,),则实数 a 的取值范围是_解析:当 x2 时, y x64.因为 f(x)的值域为4,),所以当 a1 时,3log ax3log a24,所以 loga21,所以 1 a2;当 0 a1 时,3log ax3log a2,不合题意故 a(1,2答案:(1,26(2018镇江期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, f(x)1log 2x,则不等式 f(x)0 的解集是_解析:当 x0 时, f(x) f( x)log 2( x)1, f(x)0,

    18、即 log2( x)10,解得2 x0;当 x0 时, f(x)1log 2x, f(x)0,即 1log 2x0,解得 x2,综上,不等式 f(x)0 的解集是(2,0)(2,)答案:(2,0)(2,) 二保高考,全练题型做到高考达标1(2019镇江中学调研)函数 ylog 2xlog 2(4 x)的值域为_解析:由题意知, x0 且 4 x0, f(x)的定义域是(0,4)函数 f(x)log 2xlog 2(4 x)log 2x(4 x),0 x(4 x) 24,当且仅当 x2 时等号成立x 4 x2 log 2x(4 x)2,函数 ylog 2xlog 2(4 x)的值域为(,2答案:

    19、(,22(2018镇江中学学情调研)已知函数 f(x)lg 的定义域是 ,则实(1a2x) (12, )数 a 的值为_解析:因为函数 f(x)lg 的定义域是 ,所以当 x 时,1 0,(1a2x) (12, ) 12 a2x9即 1,所以 a2 x,所以 xlog 2a.令 log2a ,得 a2 ,所以实数 a 的值为 .a2x 12 12 2 2答案: 23若函数 f(x)lg( x22 ax1 a)在区间(,1上递减,则 a 的取值范围为_解析:令函数 g(x) x22 ax1 a( x a)21 a a2,对称轴为 x a,要使函数在 (,1上递减,则有Error!即Error!解

    20、得 1 a2,即 a1,2)答案:1,2)4(2019连云港模拟)已知函数 f(x)lg ,若 f(a) ,则 f( a)_.1 x1 x 12解析:因为 f(x)lg 的定义域为1 x1,1 x1 x所以 f( x)lg lg f(x),1 x1 x 1 x1 x所以 f(x)为奇函数,所以 f( a) f(a) .12答案:125函数 f(x) lg 的定义域为_4 |x|x2 5x 6x 3解析:由Error!得Error! 故函数定义域为(2,3)(3,4答案:(2,3)(3,46(2018苏州调研)若函数 f(x)Error!( a0,且 a1)的值域为6,),则实数 a 的取值范围

    21、是_解析:当 x2 时, f(x)6,),所以当 x2 时, f(x)的取值集合A6, )当 0 a1 时, A ,不符合题意;当 a1 时,( , loga2 5)A(log a25,),若 A6,),则有 loga256,解得 1 a2.答案:(1,27函数 f(x)log 2 log (2x)的最小值为_x 2解析:依题意得 f(x) log2x(22log 2x)(log 2x)122log 2x 2 ,(log2x12) 14 14当且仅当 log2x ,即 x 时等号成立,12 22因此函数 f(x)的最小值为 .1410答案:148设函数 f(x)Error!若 f(a) f(

    22、a),则实数 a 的取值范围是_解析:由 f(a) f( a)得Error!或 Error!即Error! 或Error!解得 a1 或1 a0.答案:(1,0)(1,)9已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, f(0)0,当 x0 时, f(x)log 12x.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)解不等式 f(x21)2.解:(1)当 x0 时, x0,则 f( x)log 12 ( x)因为函数 f(x)是偶函数,所以 f( x) f(x)所以函数 f(x)的解析式为f(x)Error!(2)因为 f(4)log 1242, f(x)是偶函数,所以不等式 f(x21)2 可化为 f

    23、(|x21|) f(4)又因为函数 f(x)在(0,)上是减函数,所以| x21|4,解得 x ,5 5即不等式的解集为( , )5 510(2019如东上学期第一次阶段检测)已知函数 f(x)log a(x1)log a(3 x)(a0 且 a1),且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域;(2)若不等式 f(x) c 恒成立,求实数 c 的取值范围解:(1)因为 f(1)2,所以 2loga22,故 a2,所以 f(x)log 2(1 x)log 2(3 x),要使函数 f(x)有意义,需有Error!解得1 x3,所以 f(x)的定义域为(1,3)(2)由(1)知, f(x

    24、)log 2(1 x)log 2(3 x)11log 2(1 x)(3 x)log 2( x22 x3)log 2( x1) 24,故当 x1 时, f(x)有最大值 2,所以 c 的取值范围是2,) 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1(2019南京五校联考)已知函数 f(x) x2e x (x0)与 g(x) x2ln( x a),12若函数 f(x)图象上存在点 P 与函数 g(x)图象上的点 Q 关于 y 轴对称,则 a 的取值范围是_解析:设点 P(x0, y0)(x00),则点 P 关于 y 轴的对称点 Q( x0, y0)在函数 g(x)的图象上,所以Error!消去 y0,可得 x

    25、 e x0 ( x0)2ln( x0 a),2012所以 e x0 ln( x0 a)(x00)12令 m(x)e x (x0), n(x)ln( a x)(x0),问题转化为函数 m(x)与函数 n(x)的12图象在 x0 时有交点在平面直角坐标系中分别作出函数 m(x)与函数 n(x)的图象如图所示当 n(x)ln( a x)的图象过点 时, a .(0,12) e由图可知,当 a 时,函数 m(x)与函数 n(x)的图象在 x0 时有交点e故 a 的取值范围为(, )e答案:(, )e2(2018昆山测试)已知函数 f(x)lg (kR)kx 1x 1(1)当 k0 时,求函数 f(x)

    26、的值域;(2)当 k0 时,求函数 f(x)的定义域;(3)若函数 f(x)在区间10,)上是单调增函数,求实数 k 的取值范围解:(1)当 k0 时, f(x)lg ,定义域为(,1)11 x12因为函数 y (x1)的值域为(0,),11 x所以 f(x)lg 的值域为 R.11 x(2)因为 k0,所以关于 x 的不等式 0( x1)( kx1)0 (x1)kx 1x 10.(*)(x1k)若 0 k1,则 1,不等式(*)的解为 x1 或 x ;1k 1k若 k1,则不等式(*)即( x1) 20,其解为 x1;若 k1,则 1,不等式(*)的解为 x 或 x1.1k 1k综上,当 0

    27、 k1 时,函数 f(x)的定义域为(,1) ;(1k, )当 k1 时,函数 f(x)的定义域为 (1,)( ,1k)(3)令 g(x) ,则 f(x)lg g(x)kx 1x 1因为函数 f(x)在10,)上是单调增函数,且对数的底数 101,所以当 x10,)时, g(x)0,且函数 g(x)在10,)上是单调增函数而 g(x) k ,kx 1x 1 k x 1 k 1x 1 k 1x 1若 k10,则函数 g(x)在10,)上不是单调增函数;若 k10,则函数 g(x)在10,)上是单调增函数所以 k1.因为函数 g(x)在10,)上是单调增函数,所以要使当 x10,)时, g(x)0,必须 g(10)0,即 0,解得 k .10k 110 1 110综合知,实数 k 的取值范围是 .(110, 1)13


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