1、1第八节函数模型及其应用突破点一 基本初等函数模型基 本 知 识 1几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0)反比例函数模型 f(x) b(k， b 为常数且 k0)kx二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0)指数函数模型 f(x) bax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)对数函数模型 f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)幂函数模型 f(x) axn b(a， b 为常数， a0)2.三种基本初等函数模型的性质函数性质y ax(a1) ylo
2、g ax(a1) y xn(n0)在(0，)上的单调性单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随 x 的增大，逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大，逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0， m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元解析： m6.5， m6，则 f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.24全 析 考 法 考法一 二次函数模型 例 1 (2019商丘二中检测) 如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈
3、蚀，其中 AE4 米， CD6 米为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上(1)设 MP x 米， PN y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值解 (1)如图，作 PQ AF 于 Q，所以 PQ8 y， EQ x4，在 EDF 中， ，所以 ，EQPQ EFFD x 48 y 42所以 y x10，定义域为 x|4 x812(2)设矩形 BNPM 的面积为 S，则 S(x) xy xError!10 Error! (x10) 250，x2 12所以 S(x)是关于 x 的二次函数
4、，且其图象开口向下，对称轴为直线 x10，所以当 x4,8时， S(x)单调递增，所以当 x8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48 平方米方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，3需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题 考法二 指数函数、对数函数模型 例 2 (1)(2019贵阳摸底)20 世纪 30 年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地
5、震曲线的振幅就越大这就是我们常说的里氏震级 M，其计算公式为 Mlg Alg A0，其中 A 是被测地震的最大震幅， A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为 0.001，测震仪测得某地地震的震级为 4 级，则该地震的最大振幅为( )A6 B8C10 D12(2)(2019唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%)，试问，大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元解析 (1)由题意知，lg Alg 0.0014
6、，所以 lg A1，即 A10.故选 C.(2)设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4(10.9 x)2.4 x14.4.化简得 x60.9 x0.令 f(x) x60.9 x，易得 f(x)为单调递增函数，又 f(3)1.3740，所以函数 f(x)在(3,4)上有一个零点故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元答案 (1)C (2)4方法技巧两种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银
7、行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数 集 训 冲 关 1. 某商场销售 A 型商品已知该商品的进价是每件 3 元，且销售单价与日均考 法 一 销售量的关系如下表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 1604请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A4 B5.5C8.5 D10解析： 选 C 设定价为 x 元/件时，日均销售利润为 y 元，则y( x
8、3)400( x4)4040 21 210，故当 x 8.5 时，该商品的日(x172) 172均销售利润最大，故选 C.2. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2016 年全年投考 法 二 入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018 年 B2019 年C2020 年 D2021 年解析：选 C 设第 n(nN *)年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元根据题意得 130(112%)
9、n1 200，则 lg130(112%) n1 lg 200，lg 130( n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3( n1)lg 1.12lg 22，0.11( n1)0.050.30，解得 n ，245又 nN *， n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2020 年故选 C.突破点二 两类特殊函数的模型全 析 考 法 考法一 y x (a0)型函数模型 ax例 1 (2019盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S(平方米)的 AMPN 矩形健身场地如图，点 M 在 AC 上，点 N 在 AB 上，
10、且 P 点在斜边 BC 上已知 ACB60，| AC|30 米，| AM| x 米， x10,20设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 元，再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，37kS每平方米的造价为 元( k 为正常数)12kS5(1)试用 x 表示 S，并求 S 的取值范围；(2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T f(S)；(3)如何选取| AM|，使总造价 T 最低(不要求求出最低造价)?解 (1)在 Rt PMC 中，显然| MC|30 x， PCM60，|PM| MC|tan PCM (30 x)，3矩形 AMPN 的面积 S| PM|AM| x(30 x)，
11、x10,20，3由 x(30 x) 2225，(x 30 x2 )可知当 x15 时， S 取得最大值为 225 ，3当 x10 或 20 时， S 取得最小值为 200 ，3200 S225 .3 3(2)矩形 AMPN 健身场地造价 T137 k ，S又 ABC 的面积为 450 ，3草坪造价 T2 (450 S)12kS 3总造价 T T1 T225 k ，200 S225 .(S 2163S ) 3 3(3) 12 ，S2163S 63当且仅当 ，即 S216 时等号成立，S2163S 3此时 x(30 x)216 ，解得 x12 或 x18.3 3所以选取| AM|为 12 米或 1
12、8 米时总造价 T 最低方法技巧“y x (a0)”型函数模型的求解策略ax(1)“y x ”型函数模型在实际问题中会经常出现解决此类问题，关键是利用已ax知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“ y x ”型函ax数模型(2)求函数解析式要确定函数的定义域对于 y x (a0， x0)类型的函数最值问题，ax要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性 考法二 分段函数模型 6例 2 (2019德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在
13、水中投放一种药剂来净化水质已知每投放质量为 m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/升)满足 y mf(x)，其中 f(x)Error! 当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于 5(毫克/升)且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化(1)如果投放的药剂的质量为 m5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为 m，为了使在 9 天(从投放药剂算起包括 9 天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值解 (1)当 m5 时， yError!当 05 时，由 5 解得 55 时， y 0， f(x)单调递增，当5 x80 x180 时， f( x)0， f(x)单调递减，所以当 x80 时， f(x)有极大值，也是最大值 240 000.故当每件衣服的利润为 80 元时，该服装厂所获效益最大为 240 000 元8
