1、1第五节 对数与对数函数突破点一 对数的运算基 本 知 识 1对数的概念、性质及运算概念如果 ax N(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlog aN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数，log aN 叫做对数式对数式与指数式的互化： ax Nxlog aN性质loga10，log aa1， alogaN_ N_loga(MN)log aMlog aNloga log aMlog aNMN运算法则logaMn nlogaM(nR)a0，且 a1， M0， N02.重要公式(1)换底公式：log ab (a0，且 a1， c0，且 c1， b0)；logcb
2、logca(2)logab ，推广 logablogbclogcdlog ad.1logba基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)(2) 38 可化为 log(2) (8)3.( )(2)log2x22log 2x.( )(3)存在这样的 M， N 使得 log2(MN)log 2Mlog2N.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知 log62 p，log 65 q，则 lg 5_(用 p， q 表示)解析：lg 5 .log65log610 qlog62 log65 qp q答案：qp q2计算：2 lg 8 lg 25 _.312log32 (925)1解
3、析：原式 3(lg 2lg 5) 5.13 53答案：523已知 4a2，lg x a，则 x_.解析：4 a2 2a2， a .12lg x ， x .12 10答案： 104log 225log34log59_.解析：原式 8.lg 25lg 2 lg 4lg 3 lg 9lg 5 2lg 5lg 2 2lg 2lg 3 2lg 3lg 5答案：8典 例 感 悟 计算下列各式的值：(1)log5352log log 5 log 514；12210(2)(1log 63)2log 62log618log64.解：(1)原式log 535log 550log 5142log 21log 5 l
4、og 2log 55312.355014 1(2)原式(log 66log 63)2log 62log6(232)log64 log622(log663)2 log62 log62 log632 (log 62)2(log 62)22log 62log632log62log 62log 63log 6(23)1.方 法 技 巧 解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的 lg 2lg 51.针 对 训 练 31计算： 100
5、_.(lg14 lg 25) 12解析：原式lg 100 lg 10 2 1021020.(14125)答案：202计算：lg 5(lg 8lg 1 000)(lg 2 )2lg lg 0.06_.316解析：原式lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 3lg 5lg 23lg (160.06)53(lg 2) 22 3lg 2(lg 5lg 2)3lg 523lg 23lg 521.答案：13(2019宁波期末)已知 4a5 b10，则 _.1a 2b解析：4 a5 b10， alog 410， lg 4， blog 510， lg 5， lg 1a 1b 1a 2b42lg 5lg
6、4lg 25lg 1002.答案：2突破点二 对数函数的图象及应用基 本 知 识 1对数函数的图象函数 ylog ax， a1 ylog ax,00 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 y x 对称基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)对数函数 ylog ax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点( a,1)， ，函(1a， 1)数图象不在第二、三象限( )(2)函数 ylog 2(x1)的图象恒过定点(0,0)( )答案：(1) (2)二、填空题1已知函数 ylog a(x3)1 的图象恒过定点 P，则点 P
7、的坐标是_解析： ylog ax 的图象恒过点(1,0)，令 x31，得 x4，则 y1.答案：(4，1)2函数 ylog 3|2x m|的图象关于 x 对称，则 m_.12答案：13若 f(x)log 2x，则 f(x)0 的 x 的范围是_答案：(1，)全 析 考 法 考法一 对数函数图象的辨析 例 1 (2019海南三市联考)函数 f(x)|log a(x1)|的大致图象是( )5解析 法一：函数 f(x)|log a(x1)|的定义域为 x|x1，且对任意的 x，均有f(x)0，结合对数函数的图象可知选 C.法二： 的图象可由 ylog ax 的图象左移 1 个单位，再向上翻折得到，|
8、y loga x 1 |结合选项知选 C.答案 C方法技巧研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数 a1 或 0g(1)5.答案 C易错提醒应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律 集 训 冲 关 1. 函数 f(x)log a|x|1(00 时， g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x0，且 a1)函数a1 01 时， y0；当 01 时， y0基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)当 x1 时，log ax0.( )(
9、2)函数 ylg( x3)lg( x3)与 ylg( x3)( x3)的定义域相同( )(3)对数函数 ylog ax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1函数 y 的定义域为_log2x 1答案：2，)2函数 ylog (3x1)的单调递减区间为_12答案： (13， )3函数 ylog ax(a0， a1)在2,4上的最大值与最小值的差是 1，则 a_.答案：2 或12全 析 考 法 考法一 与对数有关的函数定义域问题 例 1 (2018西安二模)若函数 ylog 2(mx22 mx3)的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( )A(0,3)
10、 B0,3)C(0,3 D0,3解析 由题意知 mx22 mx30 恒成立当 m0 时，30，符合题意；当 m0 时，只需Error!解得 00，且 a1)的定义域为 R，求参数范围时，要注意分8p0， p0 讨论同时 p0 时应结合图象说明成立条件 考法二 与对数有关的比较大小问题 例 2 (2019湖北华中师大第一附属中学期中)设 a2 018 ， blog 2 1209018 ， clog 2 019 ，则 a， b， c 的大小关系为 ( )2 019 2 018A abc B acbC bac D cba解析 a2 018 2 01801,1log 2 0182 018blog 2
11、018 log2 0181209 2 019 ， clog 2 019 bc.故选 A.2 01812 2 018 2 019 12答案 A方法技巧 对数函数值大小比较的方法单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0” ， “1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法 根据图象观察得出大小关系考法三 与对数有关的不等式问题 例 3 设函数 f(x)Error!若 f(a) f( a)，则实数 a 的取值范围是( )A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)解析 由题意得Error!或
12、Error!解得 a1 或1 a0.故选 C.答案 C方法技巧简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数 a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 考法四 对数函数性质的综合问题 例 4 若函数 f(x)log ( x24 x5)在区间(3 m2， m2)内单调递增，则实数1m 的取值范围为( )9A. B.43， 3 43， 2C. D.43， 2) 43， )解析 由 x24
13、x50，解得1 x5.二次函数 y x24 x5 的对称轴为 x2.由复合函数单调性可得函数 f(x) log( x24 x5)的单调递增区间为(2,5)要使函数 f(x)log ( x24 x5)在区间1 1(3m2， m2)内单调递增，只需Error!解得 m2.43答案 C方法技巧解决对数函数性质的综合问题的 3 个注意点(1)要分清函数的底数是 a(0,1)，还是 a(1，)(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性 集 训 冲 关 1. 函数 f(x) 的定义域是( )考 法 一 1ln 3x 1
14、A. B. (0，)(13， ) ( 13， 0)C. D0，)13， )解析：选 B 由Error!解得 x 且 x0，故选 B.132. 设 alog 50.5， blog 20.3， clog 0.32，则 a， b， c 的大小关系是( )考 法 二 A bbc解析：选 B alog 50.5log50.21， blog 20.3log0.3 1，log 0.32103 ，log 50.5 .11 时，34 34ylog ax 为增函数， a ， a1.综上所述， a 的取值范围是 (1，)34 (0， 34)答案： (1，)(0，34)4. (2019盐城中学月考)已知函数 f(x)log a (00，解得 b0)又奇函数定义域关于原点对称，故 b1.所以1 xb xf(x)log a (0a1)又 g(x) 1 在(1， a上单调递减，0 a1，所1 x1 x 1 xx 1 2x 1以 f(x)在 (1， a上单调递增又因为函数 f(x)的值域是(，1，故 f(a)1，此时 g(a) a，即 a，解得 a 1(负根舍去)，所以 a b .1 aa 1 2 2答案： 211
