1、1第四节 指数与指数函数突破点一 指数幂的运算基 本 知 识 1根式(1)根式的概念若 xn a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN *.式子 叫做根式，这里 n 叫做na根指数， a 叫做被开方数(2)a 的 n 次方根的表示xn aError!2有理数指数幂正分数指数幂： a (a0， m， nN *，且 n1)mnnam负分数指数幂： a (a0， m， nN *，且 n1)1a 1nam幂的有关概念0 的正分数指数幂等于_0_，0 的负分数指数幂无意义aras ar s(a0， r， sQ)(ar)s ars(a0， r， sQ)有理数指数幂的性质(ab)r arb
2、r(a0， b0， rQ)基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1) a.( )4 a 4(2)( a) ( a) .( )212 a(3)( )n a.( )na答案：(1) (2) (3)二、填空题1计算： 02 2 _.(214)答案：1182设 a0，将 表示成分数指数幂的形式，其结果是_a2a3a2解析： a2a a a .a2a3a2 a2aa a2a a2a 562762答案： a763若 ，则实数 a 的取值范围为_ 2a 1 2 3 1 2a 3解析： |2 a1|， 12 a. 2a 1 2 3 1 2a 3因为|2 a1|12 a.故 2a10，所以 a
3、 .12答案： ( ，12指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答典例 (1) (a0)的值是 ( )a3a5a4A1 B aC a D a5170(2) 02 2 (0.01) 0.5_.(2 35) (2 14)解析 (1) a a .故选 D.a3a5a4 a3aa 14-2570(2)原式1 1 1 .14 (49)2(1100) 14 23 110 1
4、6 110 1615答案 (1)D (2)1615方法技巧化简指数幂常用的技巧(1) p p(ab0)；(ba) (ab)(2)a m， a ( a )n(式子有意义)；(a)n1m(3)1 的代换，如 1 a1 a,1 a a 等；213(4) 乘法公式的常见变形，如( a b )(a b ) a b，( a b )1212122 a2a b b，( a b )(a a b b ) ab. 12132313针对训练1化简 (a0， b0)的结果是( ) ab 1 ab6ab5A a B abC a2b D.1a解析：选 D 原式 a b .ababab 16-325+-361a2(2019江
5、西百校联盟联考)已知 14a7 b4 c2，则 _.1a 1b 1c解析：由题设可得 2 14,2 7,2 4，1a1bc则 2 2，1ab1472 242 3，c 3.1a 1b 1c答案：33若 x0，则(2 x 3 )(2x 3 )4 x (x x )_.142121212解析：因为 x0，所以原式(2 x )2(3 )324 x x4 x x 4 x 3 4 x 4 x 4 x 3 34 x 4 x027112121+121212423.答案：23突破点二 指数函数的图象及应用基 本 知 识 1指数函数的图象y ax(a0，且 a1)函数014图象在 x 轴上方，过定点(0,1)图象特
6、征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升2.画指数函数图象的三个关键点画指数函数 y ax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a)，(0,1)，.( 1，1a)3指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1) y ax，(2) y bx，(3) y cx，(4) y dx的图象，底数 a， b， c， d与 1 之间的大小关系为 cd1ab.由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)y2 x1 是指数函数( )(2)y ax1 的图象恒过定点(1,1)( )(
7、3)要得到 y3 x2 的图象只需将 y3 x的图象向左平移 2 个单位即可( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1函数 y ax3 3( a0，且 a1)的图象过定点_解析：因为指数函数 y ax(a0，且 a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ax3 3 中，令 x30，得 x3，此时 y134，即函数 y ax3 3 的图象过定点(3,4)答案：(3,4)2函数 y2 x1 的图象是_(填序号)5解析：由 y2 x的图象向左平移 1 个单位可得 y2 x1 的图象答案：3已知函数 y x的图象与指数函数 y ax的图象关于 y 轴对称，则实数 a 的(12a 4)值是_解析：
8、由两函数的图象关于 y 轴对称，可知 与 a 互为倒数，即 1，解得12a 4 a2a 4a4.答案：4全 析 考 法 考法一 与指数函数有关的图象辨析 例 1 (2019河北武邑中学调研)函数 ye | x1| 的大致图象是( )解析 因为| x1|0，所以 01 的 x 的取值范围是_6解析 画出函数 f(x)的大致图象如图所示，易知函数 f(x)在(，)上单调递增又 xx1，且 x( x1)1， f(0)1，所以要使 f(x) f(x1)1 成立，结合函数 f(x)的图象知只需 x11，解得 x0.故所求 x 的取值范围是(0，)答案 (0，)方 法 技 巧 有关指数函数图象问题的解题思
9、路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解集 训 冲 关 1. 函数 f(x)1e |x|的图象大致是( )考 法 一 解析：选 A 由 f(x)1e |x|是偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 B、D.又e|x|1，所以 f(x)的值域为(，0，排除 C.2. 函数 y ax b(a0 且 a1)的
10、图象经过第二、三、四象限，则 ab的取值范考 法 二 围为( )A(1，) B(0，)C(0,1) D无法确定解析：选 C 因为函数 y ax b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y ax b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上令 x0，则 y a0 b1 b，由题意得Error!解得Error!故 ab(0,1)，故选 C.3. 若曲线| y|2 x1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是考 法 二 _解析：曲线| y|2 x1 与直线 y b 的图象如图所示，由图可知：如果| y|2 x1 与7直线 y b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1答
11、案：1,1突破点三 指数函数的性质及应用基 本 知 识 指数函数的性质y ax(a0，且 a1)函数01定义域 R值域 (0，)单调性 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数当 x0 时， y1性质函数值变化规律 当 x1；当 x0 时，00 时， y1提醒 应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数 y ax(a0， a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意分 a1 与00，且 a1)，当 x0 时， y1.( )(2)若指数函数 y ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值为 2，则 a 为 .( )2(3)若 aman(a0，且 a1)，则 mn.( )答案：(1) (2) (
12、3)二、填空题1函数 y 1 x的单调递增区间为_(12)答案：(，)82若11,0.2x1，又因为 0.5x b0， clog 2 bc，所以 f(c)3，此时30，则函数 f(x)4 x 2 x1 3( x A)的最小值为( )A4 B2C2 D4解析 由题知集合 A x|20，且 a1)型函数最值问题多用换元法，即令 t ax转化为y t2 bt c 的最值问题，注意根据指数函数求 t 的范围 考法三 与指数函数有关的函数单调性问题 例 3 (1)若函数 f(x) a|2x4| (a0，且 a1)，满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减19区间是( )A(，2 B2，)C2，) D(，
13、2(2)若函数 f(x) ax(ax3 a21)( a0，且 a1)在区间0，)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. B.(0，23 33， 1)C(1， D.3 32， )解析 (1)由 f(1) ，得 a2 ，解得 a 或 a (舍去)，即 f(x) |2x4| .19 19 13 13 (13)由于 y|2 x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以 f(x)在(，2上递增，在2，)上递减，故选 B.(2)令 t ax(t0)，则原函数转化为 y t2(3 a21) t，其图象的对称轴为直线 t10.3a2 12若 a1，则 t ax1，由于原函数在区间0，)上是增函数，则 1，
14、解得 a ，与 a1 矛盾；3a2 12 33 33若 0bc B bacC cba D cab解析：选 D a0.8 0.70.80.9 b， a0.8 0.71.201， cab.2. 函数 y 的值域是( )考 法 二 16 2xA0，) B0,4C0,4) D(0,4)解析：选 C 函数 y 中，因为 162 x0，所以 2x16.因为 2x(0,16，所16 2x以 162 x0,16)故 y 0,4)故选 C.16 2x3. 函数 f(x) 的单调递增区间是( )考 法 三 (12) 2A. B.( ，12 0， 12C. D.12， ) 12， 1解析：选 D 令 x x20，得 0 x1，所以函数 f(x)的定义域为0,1，因为y t是减函数，所以函数 f(x)的增区间就是函数 y x2 x 在0,1上的减区间 ，(12) 12， 1故选 D.4. 已知函数 f(x) a|x1| (a0，且 a1)的值域为1，)，则 f(4)考 法 一 、 三 与 f(1)的大小关系是_解析：| x1|0，函数 f(x) a|x1| (a0，且 a1)的值域为1，)， a1.由11于函数 f(x) a|x1| 在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线 x1 对称，则函数在(，1)上是减函数，故 f(1) f(3)， f(4) f(1)答案： f(4) f(1)
