1、1第 2 课时 系统题型函数的性质及其应用函数单调性的判断及应用函数的单调性是高考的一个重要考点常在选择、填空题中考查，有时也与导数结合出现在解答题第一问中，难度中等常见的考法有：(1)判断函数的单调性、求单调区间(2)利用函数的单调性比较大小(3)解函数不等式(4)求参数的取值范围考法一 确定函数的单调性及求单调区间 例 1 (2019新乡一中月考)函数 ylog (x23 x2)的单调递增区间是( )1A(，1) B.( ，32)C(2，) D.(32， )解析 函数的定义域为(，1)(2，)令 t x23 x2，则ylog t. t x23 x2 在(，1)上单调递减，在(2，)上单调递
2、增， ylog t13 13为减函数，根据“同增异减”可知，函数 ylog (x23 x2)的单调递增区间是1(，1)故选 A.答案 A例 2 (2019广东佛山联考)讨论函数 f(x) (a0)在(1,1)上的单调性axx2 1解 法一(定义法)：设10， x1x210，( x 1)( x 1)0.21 2又 a0， f(x1) f(x2)0，故函数 f(x)在(1,1)上为减函数法二(导数法)：f( x) ax x2 1 ax x2 1 x2 1 22 .a x2 1 2ax2 x2 1 2 a x2 1 x2 1 2 a x2 1 x2 1 2 a0， x(1,1)， f( x)g(1)
3、，则 x 的取值范围是( )A(0,10) B(10，)C. D. (10，)(110， 10) (0， 110)3解析 g( x) f(| x|) g(x)， g(x)是偶函数，又 f(x)在0，)上是增函数， g(x)在0，)上是减函数 g(lg x)g(1)， g(|lg x|)g(1)，|lg x|0 成立，则实数 a 的取值范围为_f x1 f x2x1 x2解析 由题意，函数 f(x)在(，1和(1，)上都是增函数，且 f(x)在(，1上的最高点不高于其在(1，)上的最低点，即Error!解得 a4,8)答案 4,8)方法技巧利用函数单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数
4、的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数(2)需注意若函数在区间 a， b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 集 训 冲 关 1. 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是( )考 法 一 A f(x) x2 B f(x)3 xC f(x)ln | x| D f(x) xsin x解析：选 C 选项 A 中的函数是偶函数，在(0，)上单调递减，故不正确；选项 B中的函数是非奇非偶函数，在(0，)上单调递减，故不正确；选项 C 中的函数是偶函数，在(0，)上单调递增，故正确；选项 D 中的函数是奇函数，在 R 上单调递增，故不正确故选 C.2. 定
5、义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x) f(x2)，且在1,0上单调递减，考 法 二 设 a f( )， b f(2)， c f(3)，则 a， b， c 的大小关系是( )2A bca B abcC bac D acb解析：选 C 因为偶函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，所以函数 f(x)的周期为 2，则a f( ) f( 2)， b f(2) f(0)， c f(3) f(1) 因为1 20，且函数 f(x)在2 2 241,0上单调递减，所以 bac.故选 C.3. 已知 y f(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1 a)f(2a1)，则 a 的考 法 三 取值范围
6、是( )A. B(0，)( ，23)C. D(，0)(0，23) (23， )解析：选 C f(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1 a)f(2a1)，Error!解得 0a .故选 C.234. 函数 f(x) x22( a1) x2.考 法 四 (1)若函数 f(x)的单调递减区间是(，8，则实数 a 的值(或范围)是_(2)若函数 f(x)在区间(，8上单调递减，则实数 a 的值(或范围)是_解析：(1)因为函数 f(x)的单调递减区间是(，8，且函数 f(x)图象的对称轴为直线 x1 a，所以有 1 a8，即 a7.(2)因为函数 f(x)在区间(，8上单调递减，且函数 f(x
7、)图象的对称轴为直线x1 a，所以 1 a8，即 a7.答案：(1)7 (2)(，7函数最值的求法典例 (1)(2019厦门质检)函数 f(x) xlog 2(x2)在区间1,1上的最大值(13)为_(2)函数 f(x) x 的最小值为_x 1(3)函数 y 的值域为_3x 1x 2解析 (1)(单调性法)由于 y x在 R 上单调递减， ylog 2(x2)在1,1上单(13)调递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)3.(2)(换元法)令 t(t0)，则 x t21，所以 y t2 t1( t0)又x 1y t2 t1( t0)的图象是对称轴为直线
8、 t ，开口向上的抛物线的一部分，所以 ymin122 1 ，故函数 f(x)的最小值为 .(12) 12 54 54(3)(分离常数法) y 3 ，3x 1x 2 3 x 2 7x 2 7x 25因为 0，所以 3 3，7x 2 7x 2所以函数 y 的值域为 y|yR 且 y33x 1x 2答案 (1)3 (2) (3) y|yR 且 y354方法技巧 求解函数最值的 3 种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)换元法：形如求 y ( cx d)(ac0)的函数的值域或最值，常用代数换元ax b法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关
9、性质求解(3)分离常数法：形如求 y (ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解 cx dax b针对训练1函数 f(x) 在区间 a， b上的最大值是 1，最小值是 ，则 a b_.1x 1 13解析：易知 f(x)在 a， b上为减函数，所以Error!即Error!所以Error!所以 a b6.答案：62函数 y x 的最大值为_1 x2解析：由 1 x20，可得1 x1，可令 xcos ， 0，则 ycos sin sin ， 0，所以1 y ，故原函数的最大值为 .2 ( 4) 2 2答案： 23函数 y| x1| x2|的值域为_解析：函数 yError!作出函数的图象如图所
10、示根据图象可知，函数 y| x1| x2|的值域为3，) 答案：3，)函数奇偶性的判断及应用典例 (1)(2019辽宁名校联考)函数 y x2lg 的图象( )x 2x 2A关于 x 轴对称 B关于原点对称C关于直线 y x 对称 D关于 y 轴对称6(2)(2019武汉十校联考)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x) g(x)e x，则 g(x)( )Ae xe x B. (exe x)12C. (e xe x) D. (exe x)12 12(3) 若 f(x)ln(e 3x1) ax 是偶函数，则 a_.解析 (1)记 f(x) x2lg ，定义域为(，2)(
11、2，)x 2x 2 f( x)( x)2lg x2lg x2lg f(x)， x 2 x 2 x 2x 2 x 2x 2 f(x)为奇函数，即函数 y x2lg 的图象关于原点对称故选 B.x 2x 2(2) f(x) g(x)e x， f( x) g( x)e x，又 f( x) f(x)， g( x) g(x)，所以 f(x) g(x)e x，由解得 g(x) .故选 D.ex e x2(3)函数 f(x)ln(e 3x1) ax 为偶函数，故 f( x) f(x)，即 ln(e3 x1) axln(e 3x1) ax，化简得 ln 2 axln e 2ax，1e3x即 e 2ax，1e3
12、x整理得 e2ax3 x1，所以 2ax3 x0，解得 a .32答案 (1)B (2)D (3)32方法技巧应用函数奇偶性可解决的 4 类问题(1)判定函数奇偶性定义法：7图象法：性质法：设 f(x)， g(x)的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据 f(x)f( x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得
13、出参数的值(4)利用函数的奇偶性求值首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后结合已知条件通过化简、转换求值 针对训练1(2019东北名校联考)下列函数中既是偶函数又在(0，)上单调递增的是( )A f(x)2 x2 x B f(x) x21C f(x)log |x| D f(x) xsin x1解析：选 B f(x)2 x2 x是奇函数，故不满足条件； f(x) x21 是偶函数，且在(0，)上单调递增，故满足条件； f(x)log |x|是偶函数，在(0，)上单调递减，12不满足条件； f(x) xsin x 是偶函数，但是在(0，)上不单调故选 B.2(2019宁波期末)若函数 f
14、(x) ax2(2 a2 a1) x1 为偶函数，则实数 a 的值为_解析：当 a0 时， f(x) x1 不是偶函数当 a0 时，由偶函数的定义知2a2 a10，解得 a1 或 a .12答案：1 或1283已知函数 f(x) asin x btan x4cos ，且 f(1)1，则 f(1)_. 3解析： f(x) asin x btan x2，易知函数 g(x) asin x btan x 是奇函数，因为f(1) asin(1) btan(1)21，所以 asin 1 btan 11，则 f(1) asin 1 btan 123.答案：3函数周期性的判断及应用典例 (2018全国卷)已知
15、 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1 x) f(1 x)若 f(1)2，则 f(1) f(2) f(3) f(50)( )A50 B0C2 D50解析 (1)法一： f(x)是奇函数， f( x) f(x)， f(1 x) f(x1)由 f(1 x) f(1 x)，得 f(x1) f(x1)， f(x2) f(x)， f(x4) f(x2) f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周期函数由 f(x)为奇函数得 f(0)0.又 f(1 x) f(1 x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(2) f(0)0， f(2)0.又 f(1)2， f(1)2， f(1) f(2)
16、f(3) f(4) f(1) f(2) f(1) f(0)20200， f(1) f(2) f(3) f(4) f(49) f(50)012 f(49) f(50) f(1) f(2)202.法二：由题意可设 f(x)2sin ，作出 f(x)的部分图象如图( 2x) 所示由图可知， f(x)的一个周期为 4，所以 f(1) f(2) f(3) f(50)12 f(1) f(2) f(3) f(4) f(49) f(50)120 f(1) f(2)2.9答案 C方法技巧函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明 f(x T) f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数
17、的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期口诀记忆 周期函数有特征，图象重复记心中；图象若见两对称，隐藏周期查分明 针对训练1函数 f(x)满足 f(x1) f(x)，且当 0 x1 时， f(x)2 x(1 x)，则 f 的(52)值为( )A. B.12 14C D14 12解析：选 A f(x1) f(x)， f(x2) f(x1) f(x)，即函数 f(x)的周期为 2. f f f 2 .(52) (12 2) (12) 12 (1 12) 122(2019东北三省四市一模)已知函数 f(x)满足 f(x1) ，当 f(1)21 f x1 f x时， f(2 018) f(2 019)的值为_解析：由 f(x1) ， f(1)2，1 f x1 f x得 f(2)3， f(3) ， f(4) ， f(5)2， f(6)3， f(7) ， f(x4)12 13 12 f(x)，即 f(x)是以 4 为周期的周期函数， f(2 018) f(2 019) f(2) f(3) .72答案：7210
