1、1第二节 函数的性质第 1 课时 系统知识函数的单调性与最值、奇偶性、周期性函数的单调性1.单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 x1， x2定义 当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数 y f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 y f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y f(x)的单调区间点拨 (1)函数单调性定义中的 x1， x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意
2、两数 x1， x2 D”， “任意”两字决不能丢；二是有大小，即 x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可(2)若函数在区间 D 上单调递增(或递减)，则对 D 内任意的两个不等自变量 x1， x2的值，都有 0 .f x1 f x2x1 x2 (或 f x1 f x2x1 x2 0 时，函数 f(x)与 kf(x)单调性相同； k0 得 x2.又 u x24 在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，ylog u 为减函数，12故 f(x)的单调递增区间为(，2)答案：(，2)4. 设定义在1,7上的函数 y f(x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的增易 错 题 区间为_答案：
3、1,1，5,75若函数 y 与 ylog 3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数 k 的2x kx 2取值范围是_解析：由于 ylog 3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故函数 y 2 在(3，)上也是增函数，则有2x kx 2 2 x 2 4 kx 2 4 kx 24 k0，得 k4.答案：(，4)36已知函数 f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足 f(x)0)在 上的值域为 ，则教 材 改 编 题 ax 12， 2 12， 2a_， b_.解析： f(x) b(a0)在 上是增函数，ax 12， 2 f(x)min f ， f(x)max f(2)2.(12) 12
4、即Error!解得Error!答案：1 524. 函数 y 的值域为_易 错 题 x2 1x2 1解析：由 y ，可得 x2 .由 x20，知 0，解得1 y0 时， f(x) x21，则 f(2)教 材 改 编 题 f(0)_.解析：由题意知 f(2) f(2)(2 21)5， f(0)0， f(2) f(0)5.答案：53. 已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，教 材 改 编 题 f(x)_.解析：当 x0 时， x0)，1f x 1f x则 f(x)为周期函数，且 T2 a 为它的一个周期小 题 练 通 1. 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x(1,1)时，
5、 f(x)教 材 改 编 题 Error!则 f _.(32)答案：12. 若 f(x)是 R 上周期为 2 的函数，且满足 f(1)1， f(2)2，则 f(3)教 材 改 编 题 f(4)_.解析：由 f(x)是 R 上周期为 2 的函数知， f(3) f(1)1， f(4) f(2)2， f(3) f(4)1.答案：13. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数，并且 f(x2) ，当 2 x3教 材 改 编 题 1f x7时， f(x) x，则 f(2 019)_.解析：由已知，可得 f(x4) f(x2)2 f(x)，故函数1f x 2 11f xf(x)的周期为 4. f(2 019
6、) f(45043) f(3)3.答案：34. 函数 f(x)的周期为 4，且 x(2,2， f(x)2 x x2，则 f(2 018) f(2 易 错 题 019) f(2 020)的值为_解析：由 f(x)2 x x2， x(2,2，知 f(1)3， f(0)0， f(2)0，又 f(x)的周期为 4，所以 f(2 018) f(2 019) f(2 020) f(2) f(1) f(0)0303.答案：35已知 f(x)是 R 上的奇函数，且对任意 xR 都有 f(x6) f(x) f(3)成立，则f(2 019)_.解析： f(x)是 R 上的奇函数， f(0)0，又对任意 xR 都有 f(x6) f(x) f(3)，当 x3 时，有 f(3) f(3) f(3)0， f(3)0， f(3)0， f(x6) f(x)，周期为 6.故 f(2 019) f(3)0.答案：06偶函数 y f(x)的图象关于直线 x2 对称， f(3)3，则 f(1)_.解析：因为 f(x)的图象关于直线 x2 对称，所以 f(x) f(4 x)， f( x) f(4 x)，又 f( x) f(x)，所以 f(x) f(4 x)，则 f(1) f(41) f(3)3.答案：38
