1、1课时跟踪检测（四） 基本不等式A 级 基础题基稳才能楼高1函数 f(x) 的最大值为( )xx 1A. B.25 12C. D122解析：选 B 显然 x0.当 x0 时， f(x)0；当 x0 时， x12 ， f(x) ，当x12且仅当 x1 时取等号， f(x)max .122，若 a， bR，则下列恒成立的不等式是( )A. B. 2|a b|2 |ab| ba abC. 2 D( a b) 4a2 b22 (a b2 ) (1a 1b)解析：选 C 由于 a， bR，所以 A、B、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑 C项 2 0，a2 b22 (a b2 ) 2 a2 b2
2、a2 2ab b24 a2 2ab b24 a b 24 2.a2 b22 (a b2 )3(2018东北三省四市一模)已知 x0， y0，且 4x y xy，则 x y 的最小值为( )A8 B9C12 D16解析：选 B 由题意可得 1，则 x y( x y) 5 524y 1x (4y 1x) 4xy yx9，当且仅当 ，即 x3， y6 时等号成立，故 x y 的最小值为 9.4xyyx 4xy yx4已知 x， y 都为正实数，且 x y 5，则 x y 的最大值是( )1x 1yA3 B3.5C4 D4.5解析：选 C 因为 x y x y x y x y ，所以1x 1y x y
3、xy x y(x y2 )2 4x y2x y 5.令 x y t.则 t25 t40，解得 1 t4.4x y5(2019西藏林芝期中)若 x， y 均为正数，则 13 的最小值是( )3xy 12yxA24 B28C25 D26解析：选 C 因为 x， y 均为正数，所以由基本不等式得 132 13 25，当且仅当 x2 y 时等号成立，故 13 的最小3xy 12yx 3xy12yx 3xy 12yx值是 25，故选 C.B 级 保分题准做快做达标1(2019郑州外国语学校月考)若 ab1， P ， Q (lg alg b)，lg alg b12Rlg ，则( )a b2A Rb1，lg
4、 alg b0， (lg alg b) ，即12 lg alg bQP. ，lg lg (lg alg b)， 即 RQ， P0， y0，则“ x2 y2 ”的一个充分不必要2xy条件是( )A x y B x2 yC x2 且 y1 D x y 或 y1解析：选 C x0， y0， x2 y2 ，当且仅当 x2 y 时取等号故“ x2 且2xyy1”是“ x2 y2 ”的充分不必要条件，故选 C.2xy3(2019豫西南联考)已知正项等比数列 an的公比为 2，若 aman4 a ，则 的22m 12n最小值为( )A1 B.12C. D.34 32解析：选 C 由题意知 aman a 2m
5、 n2 4 a 22 a 24，21 21 213 m n6，则 (m n) ，2m 12n 16(2m 12n) 1652 2nm m2n 16 (52 2) 34当且仅当 m2 n 时取等号， 的最小值为 ，故选 C.2m 12n 344(2019岳阳一中模拟)已知 ab0，则 2a 的最小值为( )4a b 1a bA6 B4C2 D33 2解析：选 A 因为 (54) (当且仅当4a b 1a b 12a( 4a b 1a b) a b a b 12a 12a 92aa3 b 时取等号)，所以 2a 2 a 6(当且仅当 a 时后一个不等式取等4a b 1a b 92a 32号)，故选
6、 A.5(2019甘肃诊断)已知向量 a(3，2)， b( x， y1)，且 a b，若 x， y 均为正数，则 的最小值是( )3x 2yA. B.53 83C8 D24解析：选 C 因为 a b，故 3(y1)2 x，整理得 2x3 y3，所以 (2x3 y)3x 2y 13 8，当且仅当 x ， y 时等号成立，所以 的最小(3x 2y) 13 13(12 2 9yx4xy) 34 12 3x 2y值为 8，故选 C.6若实数 a， b， c 满足 a2 b2 c28，则 a b c 的最大值为( )A9 B2 3C3 D22 6解析：选 D ( a b c)2 a2 b2 c22 ab
7、2 ac2 bc82 ab2 ac2 bc. a2 b22 ab， a2 c22 ac， b2 c22 bc，82 ab2 ac2 bc2( a2 b2 c2)824，当且仅当 a b c 时取等号， a b c2 .67(2019林州一中模拟)已知正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S82 S45，则a9 a10 a11 a12的最小值为( )A10 B154C20 D25解析：选 C 由题意可得 a9 a10 a11 a12 S12 S8，由 S82 S45 可得S8 S4 S45，由等比数列的性质可得 S4， S8 S4， S12 S8成等比数列，则 S4(S12 S8)( S
8、8 S4)2，综上可得： a9 a10 a11 a12 S12 S8 S4 102 S4 5 2S4 25S41020，当且仅当 S45 时等号成立故 a9 a10 a11 a12的最小值为 20.S425S48(2019赣州月考)半圆的直径 AB4， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A， B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则( ) 的最小值是( )PA PB PC A2 B0C1 D2解析：选 D O 为 AB 的中点， 2 ，从而( ) 2 2| | |.PA PB PO PA PB PC PO PC PO PC 又| | | | AB22 ，PO PC OC 12| |
9、|1，PO PC 2| | |2，PO PC 当且仅当| | |1，PO PC 即 P 为 OC 的中点时，( ) 取得最小值2，故选 D.PA PB PC 9(2019玉溪月考)在 ABC 中，若 a2 b22 c2，则内角 C 的最大值为( )A. B. 6 4C. D. 3 23解析：选 C a2 b22 c2，由余弦定理得 cos C ，当且仅当 a b 时取a2 b2 c22ab a2 b2 c2a2 b2 2c2 c22c2 12等号 C 是三角形的内角，角 C 的最大值为 ，故选 C. 310(2019淮安学情调研)已知正数 x， y 满足 x2 y3，则 的最小值为yx 1y_
10、解析：5 x0， y0， x2 y3， 2 ，当且仅当yx 1y yx x 2y3y yx x3y 23 yxx3y 23 23 23 即 x6 9， y63 时等号成立， 的最小值为 .yx x3y 3 3 yx 1y 23 23答案：23 2311(2019嘉兴基础测试)若正实数 m， n 满足 2m n6 mn，则 mn 的最小值是_解析：由 2m n6 mn， m0， n0，得 2 62 m n6 mn，令 t(t0)，2mn 2mn则 2t6 ，即 t24 t120，解得 t2(舍)或 t6，即 6， mn18，则 mnt22 2mn的最小值是 18.答案：1812(2019张掖月考
11、)设 a0， b1，若 a b2，则 的最小值为_3a 1b 1解析： a0， b1， a b2， (a b1)3a 1b 1 (3a 1b 1)3 13 b 1a ab 14 42 ，3 b 1a ab 1 3当 ，3 b 1a ab 1即 a ， b 时取等号，3 32 3 12故最小值为 42 .3答案：42 313(2019石家庄高三一检)已知直线 l： ax by ab0( a0， b0)经过点(2,3)，则 a b 的最小值为_解析：因为直线 l 经过点(2,3)，所以 2a3 b ab0，所以 b 0，所以 a30，2aa 3所以 a b a a3 552 52 ，2aa 3 6
12、a 3 a 3 6a 3 6当且仅当 a3 ，6a 36即 a3 ， b2 时等号成立6 6答案：52 614(2018唐山二模)已知 a0， b0， c0， d0， a2 b2 ab1， cd1.(1)求证： a b2；(2)判断等式 c d 能否成立，并说明理由ac bd解：(1)证明：由题意得( a b)23 ab13 21，当且仅当 a b 时取等号(a b2 )解得( a b)24，又 a， b0，所以 a b2.(2)不能成立理由：由均值不等式得 ，当且仅当 a c 且 b d 时等号成立ac bda c2 b d2因为 a b2，所以 1 .ac bdc d2因为 c0， d0，
13、 cd1，所以 c d 1 ，故 c d 不能成c d2 c d2 c d2 cdc d2 ac bd ac bd立15(2019孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度 x(km/h)(50 x120)的关系可近似表示为 yError!(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知 A， B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当 x50,80)时， y (x2130 x4 900) (x65) 2675，175 175所以当 x65 时， y 取得最小值，最小值为 6
14、759.175当 x80,120时，函数 y12 单调递减，x60故当 x120 时， y 取得最小值，最小值为 12 10.12060因为 910，所以当 x65，即该型号汽车的速度为 65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少(2)设总耗油量为 l L，由题意可知 l y ，120x7当 x50,80)时， l y 16，120x 85(x 4 900x 130) 85(2 x4 900x 130)当且仅当 x ，即 x70 时， l 取得最小值，最小值为 16；4 900x当 x80,120时， l y 2 为减函数，120x 1 440x所以当 x120 时， l 取得最小值，最小值为 10.因为 1016，所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最少8
