1、1第四节 基本不等式突破点一 利用基本不等式求最值基 本 知 识 1基本不等式： aba b2(1)基本不等式成立的条件： a0， b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a b时取等号2几个重要的不等式Error!当 且 仅 当 a b时等 号 成 立 .3算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：a b2 ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则：(1)如果积 xy是定值 p，那么当且仅当 x y时， x y有最小值是 2 .(简记：积定和p最小)(2)如果和 x y是定值
2、p，那么当且仅当 x y时， xy有最大值是 .(简记：和定积最p24大)基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 y x 的最小值是 2.( )1x(2)函数 f(x)cos x ， x 的最小值为 4.( )4cos x (0， 2)(3)x0， y0是 2 的充要条件( )xy yx(4)若 a0，则 a3 的最小值为 2 .( )1a2 a答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1当 x0时，函数 f(x) 的最大值为_2xx2 12答案：12已知 a， b(0，)，若 ab1，则 a b的最小值为_；若 a b1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得
3、a b2 2，当且仅当 a b1 时取到等号；abab 2 ，当且仅当 a b 时取到等号(a b2 ) 14 12答案：2 143若 a， bR， ab0，则 的最小值为_a4 4b4 1ab解析： a， bR， ab0， 4 ab 2 4，a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab 4ab1ab当且仅当Error!即Error! 时取得等号答案：44已知 a0， b0， a2 b3，则 的最小值为_2a 1b解析：由 a2 b3 得 a b1，所以 2 13 23 2a 1b (13a 23b)(2a 1b) 43 a3b 4b3a 43 .当且仅当 a2 b 时取等号a3b4b3a
4、 83 32答案：83全 析 考 法 考法一 通过拼凑法利用基本不等式求最值 利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正” “二定” “三相等” 所谓“一正”是指正数， “二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件例 1 (1)(2019泉州检测)已知 02)的最小值为 6，则正数 m的值为mx 23_解析 (1)02， m0， y x2 22 22 2，mx 2 x 2 mx 2 m当且仅当 x2 时取等号，m又函数 y x (x2)的最小值为 6，mx 22 26，解得 m4.m答案 (1)B (2)4方法技巧通过拼凑法利用基本不等
5、式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值例 2 (1)(2019青岛模拟)已知 x0， y0，lg 2xlg 8ylg 2，则 的最小1x 13y值是_(2)(2019齐齐哈尔八校联考)若对 x0， y0， x2 y1，有 m恒成立，则 m的2x 1y最大值是_解析 (1)因为 lg 2xlg 8ylg 2，所以 x3 y1，所以 (x3 y)1x 13y (1x 13y)2 4 当且仅当 ，即 x
6、， y 时取等号3yx x3y 3yx x3y 12 16(2) x0， y0， x2 y1， ( x2 y) 22 42 8，2x 1y (2x 1y) 4yx xy 4yxxy4当且仅当 x ， y 时取等号，12 14 的最小值为 8，2x 1y又 m恒成立，2x 1y m8，即 m的最大值为 8.答案 (1)4 (2)8方法技巧通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为 1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值 集 训 冲 关 1. 已知 x0，
7、b0， 1.所以1a 9ba b( a b) 10 102 16.由题意得 16 x24 x18 m，即(1a 9b) ba 9ab 9x24 x2 m对任意实数 x恒成立，又 x24 x2( x2) 26 的最小值为6，所以6 m，即 m6.答案：6，)5突破点二 基本不等式的实际应用问题典例 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为 6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为 12，此铝合金窗占用的墙面面积为 28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为 a cm， b cm，铝合金窗的透光部分的面积为 S cm2.(1)试用 a， b表示
8、 S；(2)若要使 S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？解 (1)铝合金窗宽为 a cm，高为 b cm， a0， b0， ab28 800.设上栏框内高度为 h cm，则下栏框内高度为 2h cm，则 3h18 b， h ，b 183透光部分的面积 S( a18) ( a12) ( a16)( b18)2 b 183 b 183 ab2(9 a8 b)28828 8002(9 a8 b)28829 0882(9 a8 b)(2)9 a8 b2 2 2 880，9a8b 9828 800当且仅当 9a8 b时等号成立，此时 b a，代入式得 a160，从而 b180，98即当 a160， b
9、180 时， S取得最大值铝合金窗的宽为 160 cm，高为 180 cm时，可使透光部分的面积最大方法技巧利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 针对训练某品牌行车记录仪支架销售公司从 2018年 1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量 x万件与投入实体店体验安装的费用 t万元之间满足函数关系式 x3 .已知网店每月固定的各种费用支出为 3万元，产品2t 1每 1万件进货价格为 32万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？6解：由题意知 t 1(1 x3)，设该公司的月利润为 y万元，则23 xy x 32x3 t16 x 316 x 345.5 4(48t2x) t2 13 x 12 16 3 x 13 x5.52 37.5，当且仅当 x 时取等号，即最大月利润为 37.5万元16114
