1、1第三节 不等式的性质及一元二次不等式突破点一 不等式的性质基 本 知 识 1比较两个实数大小的方法(1)作差法Error!(2)作商法Error!2不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 abbb， bcac 可加性 ab， cR a cb c Error!acbc可乘性Error!acb d 同向同正可乘性 Error!acbd0 可乘方性 ab0anbn(nN， n1)可开方性 ab0 (nN， n2)nanba， b 同为正数3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质 ab， ab0 b0,0 .0b0， m0，则 (b m0) ； 0)bab ma m bab ma m aba
2、 mb m aba mb m基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若 ，则 ab.( )acbc(3)若 ab， cd，则 acbd.( )答案：(1) (2) (3)2二、填空题1若 aaab，则实数 b 的取值范围是_答案：(，1)典 例 感 悟 1设 M2 a(a2)， N( a1)( a3)，则有( )A MN B M NC M0，所以MN，故选 A.2(2018吉安一中二模)已知下列四个关系式： abacbc； ab b0， cd0 ； ab1， c0b 时，不正确由于 cd0，所以 0，1d1c又 ab0，所以 0，正确adbc由于 ab1，当 xx2 Err
3、or! R一元二次不等式ax2 bx c0( a0)的解集x|x1 x x2 2.不等式 ax2 bx c0(0 对任意实数 x 恒成立Error!或Error!(2)不等式 ax2 bx c0.( )(2)若方程 ax2 bx c0( a0)没有实数根，则不等式 ax2 bx c0 的解集为空集( )(3)若不等式 ax2 bx c0 对 xR 恒成立，则其判别式 0.( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1不等式 1 的解集是_1x 1解析：原不等式可化为 0，xx 1即 x(x1)0，且 x10，解得 x1 或 x0.答案：(，0(1，)2设 a0 的解集是 ，则 a b 的值是_
4、(12， 13)答案：144若不等式 ax2 ax1f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A(，2)(1，) B(1,1)C(2,1) D(1,2)(2)(2019六安阶段性考试)已知常数 aR，解关于 x 的不等式 12x2 axa2.解析 (1)选 C f(x)Error!函数 f(x)是奇函数，且在 R 上单调递增， f(2 a2)f(a)等价于 2 a2a，即 a2 a2a2，12 x2 ax a20，即(4 x a)(3x a)0.令(4 x a)(3x a)0，解得 x1 ， x2 .a4 a3当 a0 时， 0，解集为 x|xR，且 x0；6当 a ，解集为 .a4a3综上所述
5、：当 a0 时，不等式的解集为 ；当 a0 时，不等式的解集为 x|xR，且 x0；当 a0 时，不等式的解集为 .方 法 技 巧 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 与 0 的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式 考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围 考向一 在实数集 R 上恒成立例 2 (2019大庆期中)对于任意实数 x，不等式( a2) x22(
6、 a2) x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析 当 a20，即 a2 时，40 恒成立；当 a20 时，则有Error!解得2 a2，2 a2.答案 (2,2 考向二 在某区间上恒成立例 3 (2019忻州第一中学模拟)已知关于 x 的不等式 x24 x m 对任意的 x(0,1恒成立，则实数 m 的取值范围为_解析 令 f(x) x24 x， x(0,1， f(x)图象的对称轴为直线 x2， f(x)在(0,1上单调递减，当 x1 时 f(x)取得最小值，为3， m3.答案 m3方 法 技 巧 解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题
7、 集 训 冲 关 71. 如果关于 x 的不等式 x2ax b 的解集是 x|1x3，那么 ba等于( )考 法 一 A81 B81C64 D64解析：选 B 不等式 x2ax b 可化为 x2 ax b0，其解集是 x|1x3，那么，由根与系数的关系得Error!得Error!所以 ba(3) 481.故选 B.2. 已知关于 x 的不等式 x2( k1) x k10 对任意实数 x 都成立，考 法 二 考 向 一 则实数 k 的取值范围是( )A(，31，) B(，13，)C1,3 D3,1解析：选 D 关于 x 的不等式 x2( k1) x k10 对任意实数 x 都成立，则 ( k1) 24( k1)0，解得3 k1，故选 D.3. 若不等式 x2 mx10 对于任意 x m， m1都成立，则实数 m考 法 二 考 向 二 的取值范围是_解析：由题意，得函数 f(x) x2 mx1 在 m， m1上的最大值小于 0，又抛物线 f(x) x2 mx1 开口向上，所以只需Error!即Error!解得 m0.22答案： (22， 0)8
