1、- 1 -铜仁一中 20182019 学年度第二学期高二半期考试数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 22 题。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知函数 ，则 （ ）xfsin2)(0fA 0 B 1 C2 D2在下列命题中，不是公理的是（ ）A. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面B. 平行于同一个平面的两个平面相互 平行 C. 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那
2、么他们有且只有一条过该点的公共直线3 10)2(dxex等于（ ）A. 1 B. C. D. e1e1e4.下列说法中，正确的个数为（ ）圆柱的侧面展开图是一个矩形； 圆锥的侧面展 开图是一个扇形；圆台的侧面展开图是一个梯形； 棱锥的侧面为三角形A1 B2 C3 D45 .已知 =(-2,1,3), =(-1,2,1),若 ( - ),则实数 的值为 ( )ababA. B. C. D.2514316已知底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积2为（ ）.A. B. C. D. 324437. 若函数 在区间 内是单调递减函数，则函数 在区间 内yfx12,xy
3、fx2,x- 2 -的图象可以是（ ）8正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,点 M 在 AC1上且 ,N 为 B1B 的中点,则 | |等=121 于 ( )A. B. C. D.a626a65a359若函数 的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有 性质.下列函数中具有 性质的是（ ）.()fTTA. B. C. D.lnyxsinyxexy310若点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 到直线 的最小值为（ ）xyln2 2xyA1 B C D 311如图，已知正三棱柱 的棱长均为 2，则异面直线 与 所成角的余弦1AC1ABC值是（ ）A B
4、 322C D01412已知 )(xf是奇函数 )(xf的导函数， 0)1(f，当 x时， 0)(xff，则使得 0成立的 的取值范围是（ ）A ),1(, B )1,(,(C D - 3 -第卷（选择题，共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分)13已知函数 ,则 的值为 .3)(2xf14. 直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 .yy15如图，棱长为 2 的正方体 中， M 是棱 AA1的中点，1ABCD过 C， M， D1作正方体的截面，则截面的面积是_.16设 是 的导数某同学经过探究发现，任意一个三次函数()yfx()yfx（ ）都有
5、对称中心 ，其中 x0满32()fabcd0a0(,)xf足 已知 ，则0x 12731)(23xxf_)098(092)19( fff 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分 10 分)已知函数 32(fxabx在 处取得极值2（1）求实数 ,的值；（2）过点 作曲线 )(xfy的切线,求此切线方程)320(A18. (本小题满分 12 分) 如图，底面 是边长为 1 的正方形， ， ，（1）求证： ；（2）求二面角 的余弦值 . 19(本小题满分 12 分) xffx1(lim0AFDEAF3,BCDE平 面ABCD60
6、所 成 角 为与 平 面E平 面EF- 4 -.已知函数 .0,13)(axf（1）求 的单调区间;x（2）若 在 处取得极值,直线 与 的图象有三个不同的交点,求 m)(f my)(xf的取值范围 .20.(本小题满分 12 分) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分1PABCD的形状是正四棱柱 （如图所示），并要求正四棱柱的高 O是正四棱锥的1ABCD高 的 4 倍1PO（1）若 ，则仓库的容积是多少；（2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 1PO为多少时，仓库的容积最大？21 (本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ,PABCDAB
7、CD/=3ABDC， 为线段 上一点， ， 为 的中点4M2MNP（1）证明 平面 ；/N（2）求直线 与平面 所成角的正弦值22(本小题满分 12 分)PABCDOO1A1 B1C1D1PAB DCNMpo2,6- 5 -已知函数 2()ln,.fxaxR（1）若函数 在 (1,)f处的切线垂直于 y轴，求实数 的值；a（2）在（1）的条件下，求函数 ()fx的单调区间；（3）若 ,()0xf时 恒成立，求实数 的取值范围a- 6 -铜仁一中 2018-2019 学年度第二学期期中考试高二数学（理科）参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B B C D D
8、 B A B B C A2、填空题13. 2 14. 4 15. 16. 4036 2917.解：（1 ） 是方程 的两个根，,3)(2 bxaxf032bxa由韦达定理： ，解得： .410a041b(2)由上可知： ,3)(,3)(2 xfxxf易知 点不在函数 图象上，设切点为 斜率Af ),41(030x,3420xk则切线方程为： 即：,3410200xxy,341002030xy过点 则： 切线方程为：31)(x)2( ,4,6030x.329yx18.解：（1）证明： DE 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 DE AC,又 底面 ABCD 是正方形，AC BD.BD D
9、E=D,AC 平面 BDE.- 7 -（2）解： DA,DC,DE 两两垂直，以 D 为原点，DA 方向为 X 轴，DC 方向为 Y 轴，DE 方向为 Z 轴建立空间直角坐标系，由已知可得 DBE=60，,3BE由 AD=1，可知 BD= ,DE= ，AF= .263则 A(1,0,0), F(1,0, ), E(0,0, ), B(1,1,0), C(0,1,0),3),61,0(BF).362,01(EF设平面 BDE 的一个法向量为 ,zyxn则 ,即0EFnB,0362,zxy令 z= 则,6).,4(AC 平面 BDE，为平面 BDE 的一个法向量，CA),01(，3,cosn二面角
10、 为锐角，DBEF13- 8 -二面角 的余弦值为 19解:(1) f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当 a0, 当 a0 时,由 f(x)0,解得 x .a a由 f(x)0 时, f(x)的单调增区间为( - ,- ),( ,+ ),单调减区间为( - ).a a a,a(2)f (x)在 x=-1 处取得极值,f (-1)=3(-1)2-3a=0,a= 1.f (x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由 f(x)=0,解得 x1=-1,x2=1.由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3. 直
11、线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,- 9 -结合如图所示 f(x)的图象可知:实数 m 的取值范围是( -3,1).20.（1） 12PO，则 18m1 236433ABCDABCVS，1 1D，3=PABCABC，故仓库的容积为 312m（2）设 1Ox(m)，仓库的容积为 Vx，则 4(m)， 216(m)， 216ABx(m)，11PABCDABCDVxV13CCDSPO236x06， 26x06x，当 ,23x时， ， 单调递增；当 23,时， 0Vx，V单调递减故当 x时， Vx取到最大值，即 1PO(m)时，仓库的容积最大21.解（）由已知得 ，23ADM取
12、的中点 ，连接 BPTN,由 为 中点知 ， NCB/21CT又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是AD/ AMNTTM因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 PMNP/PAB（）取 的中点 ，连结 ，由 得 ，从而 ，BCECBEDE且 5)2(2AA以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，x xyzA- 10 -由题意知， ， ， ，)4,0(P)0,2(M),5(C)2,15(N， ，,1P)2,15(AN设 为平面 的法向量，则 ，即 ，,xyznMN0PMNn0254zyx可取 ，(0,21)于是 |85|cos, 2nAN22. 解：（1） 定义域为（0，+ ）,l)(2Raxxf.,1a依题意， 解得 .,3)(f 3（2） 时， 定义域为（0，+ ） ，,ln2xx，xf13)(当 或 时，20,0)(xf当 时， ，1xf故 的单调递增区间为 ， （1，+ ） ，单调递减区间为（ ）.)(f )2,(1,2(3) 由 ，得 在 时恒成立，0xfxaln- 11 -令 则 ，,ln)(2xg2ln1)(xg令 则,l1)(2h01)(h所以 在（1，+ ）为增函数， .x2)(hx故 ，故 在 为增函数.0)(g)(xg),1,x所以 ，即实数 的取值范围为1aa.1,(
