1、- 1 -西藏拉萨中学 2019 届高三数学第七次月考试题 理（满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填写在答题卡上）第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 。1.设 是虚数单位,若复数 ,则 的共轭复数为( )i izzA. B. C. D. 212i12i12i2.已知集合 , ,则 ( ),397A=3|log,ByxA=BA. B. C. D. 1,197139,73.已知 ， ，则 =（ ）5)2cos()0,2(tanA. B
2、. C. D. 4343554.向 图 中 边 长 为 2 的 正 方 形 中 ， 随 机 撒 一 粒 黄 豆 ， 则 黄 豆 落 在 图 中 阴 影 部 分 的 概 率 为 ( )A. B. C. D. 12ln4ln22ln42ln45.已知非零向量 满足 ,且 ,则向量 的夹角为( ),m()m,mA. B. C. D. 32346.已知 ， “方程 有解”是“函数 在区间 为减函数”R10xelogmyx(0,)的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.“剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中
3、“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合 1801 年高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是- 2 -一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将 1 到 2018 这 2018 个数中,能被 3 除余 1 且被 7 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列 ,则此数列共有( )naA. 98 项 B. 97 项 C. 96 项 D. 95 项8.函数 的图象关于( )对称2lg1yxA x 轴 B y 轴 C原点 D y x9.已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B24
4、8453162C D110.已知函数 图象的一条对称轴为 ，其中 为常数，且)(6sin2)(Rxxfx (1，2)，则函数 f(x)的最小正周期为( )A. B. C. D. 35 65 95 12511.已知直线 的倾斜角为 ,直线 与双曲线 的左、右两支分l4l2:(0,)xyCab别交于 两点,且 都垂直于 轴(其中 分别为双曲线 的左、右焦点),则MN21,F 1,F C该双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 35+52- 3 -12.已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上存在点12ln(,)yaxeP2yx，且点 关于原点对称,则实数 的取值范围为( )QPaA. B.
5、 C. D. 2)e13,4e214,e23,e第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 (13)(21)题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须作 答 。 第 (22)(23)题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。二、填 空 题 ： （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 20 分 ， 把 答 案 填 在 答 题 卡 中 横 线 上 ）13.已知二项式，则该展开式中常数项为_（用数字作答）912x14.设 的内角 所对的边分别为 ,若 ,则角ABC, abc2,35asinAiB_.15.在三棱锥
6、中, 平面 , ,则该三PABC0,1,6PAC棱锥的外接球的表面积为_.16.已知函数 ,若 存在 个零点,则 的取值范围,0,2lnxefgxfxag2a是_三 、 解 答 题 ： （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）17 （本小题满分 12 分）已知数列 an的前 n 项和 Sn ， nN *.n2 n2（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn2 an(1) nan，求数列 bn的前 2n 项和18 （本小题满分 12 分）在四棱锥 中，底面 为直角梯形 ， ABCDPABCDAB/， ，
7、 ， ， 是 的中点.09BAD2C平 面2PMP（1）求证：平面 平面 ；PM（2）求二面角 的余弦值.B- 4 -19（本小题满分 12 分）新能源汽车的春天来了!2018 年 3 月 5 日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自 2018 年 1 月 1 日至 2020年 12 月 31 日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表:月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.3 2018.4月份编号 t1 2 3 4 5销
8、量(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 (万辆)与月份编号y之间的相关关系.请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 ,并预测 2018 年 5t ytbta月份当地该品牌新能源汽车的销量;（2）2018 年 6 月 12 日,中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频
9、数表:补贴金额预期值区间(万元)1,2,3,4,5,6,7频数 20 60 60 30 20 10求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 的样本方差 及中位X2s数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到 0.1);将频率视为概率,现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3 人,记被抽取 3 人中对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的人数为 ,求 的分布列及数学期望 .E- 5 -参考公式及数据:回归方程 ,其中 , ;ybxa12()niiitybaybt.518ity20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 过点（2，0）
10、,且椭圆 的离)(1:2bayxCC心率为 .21（1）求椭圆 的方程;C（2）若动点 在直线 上,过 作直线交椭圆 于 两点,且 为线段 中点,P1xPCNMPMN再过 作直线 .求直线 是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。MNl21（本小题满分 12 分）已知函数 .()(1)ln,Rfxax（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程； ay,（2）令 ,讨论 的单调性；()agxf()gx（3）当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.( 为自然对数的底e0xmf me数, )7182请 考 生 在 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按
11、所 做 的 第 一 题 计 分 。22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程- 6 -在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, xOyl123xaty轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . x C2231cos1.求直线 的普通方程以及曲线 的参数方程;l 2.当 时, 为曲线 上动点,求点 到直线 距离的最大值. 1aPPl23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .2fxax（1）若 ,求不等式 的解集;46f（2）若 的解集包含 ,求实数 的取值范围.3fx01a- 7 -拉萨中学 2019 届高三
12、第七次月考理科数学参考答案一、选择题：1、填空题：13. ； 14. ； 15. ； 16. 6723281,2、解答题：17.解 (1)当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 n.n2 n2 （ n 1） 2 （ n 1）2由于 n1 时， a11 适合上式，故数列 an的通项公式为 an n.(2)由(1)知， bn2 n(1) nn.记数列 bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(2 12 22 2n)(12342 n)记 A2 12 22 2n， B12342 n，则A22 22 32 2n 2 2n1 2.2（ 1 22n）1 2B(12)(34)(2
13、n1)2 n n，故数列 bn的前 2n 项和 Tn2 2n1 n2.18. （1）在直角梯形中， ， ，又 为 中点，在 中，3BDCPMPCB；在 中， ，所以 ，且 ， BMPCP2DB所以 平面 ， 所以平面 平面 ；D（2）以 为原点, 为 轴,建立空间直角坐标系,AAPB,zyx,)02()2(),01,20()( CP有题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A B A C B C C D B D D- 8 -令平面 的法向量为 ,PBDn由 ,可得一个 ,由 1 可知平面 的一个法向量为 ,所以经计算二面角 的余弦值为 .PBDM2119.解析：（1
14、）易知 123450.61.47, 1.05t y,5222134it,551122()iiii itytybt218.53.04.0430.ayt则 关于 的线性回归方程为 ,.320.8yt当 时, ,即 2018 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆.6t.28.yt（2）(i)根据题意,这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值 的平均X值 ,样本方差 及中位数的估计值分别为:x2s,1.50.3.504.15.06.53.22222()1()3()3(4)01s5.30.653.0.517中位数的估计值为 .63(ii)根据给定的频数表可知,任意抽取
15、 1 名拟购买新能源汽车的消费者,对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的概率为 ,205由题意可知 ,所以()5B:39()E20.(1)因为点 在椭圆 上,所以 ，因为 ，所以 ， ,所)0,2(C2a1cc322cab- 9 -以椭圆 的方程为 . 1342yx(2)设 , ,)1(0yP)2(当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为MNMN, , ,由 得 ,)1(24302xky所以 , 因为 为 中点,所以 ,即 ，2021438PMN21x24380ky所以 , )(0ykMN因为直线 ,所以 ,所以直线 的方程为 ，l340ykll )1(3400xy即 ,显然直线 恒过定点 .
16、 )1(340xyl),41(当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,此时直线 为 轴,也过点 .MNMNxlx)0,41(综上所述直线 恒过定点 . l)0,41(21.解析：（1） , , ,2)fxf(1)f所以曲线 在点 处的切线方程为(y1()20xy（2） ,定义域为 , ,)lnagxx0 221()()axag当 时,当 时, , 在 单调递增;当 时, ,0a()g()x1 0g在 单调递减;()x1当 时,当 或 时, , 在 , 上单调递增;xa()0gx()a1- 10 -当 时, , 在 单调递减;1ax()0gx(),1a当 时, 在 单调递增; 当 时,当 或
17、时, , 在 , 上单调递增;x()0gx()1a当 时, , 在 单调递减.1xa()0g()1a综上,当 时, 在 单调递增,在 单调递减 ;x,当 时, 在 , 上单调递增,在 单调递减;0() (,1)a当 时, 在 单调递增; 1agx0 当 时, 在 , 上单调递增,在 单调递减.()1a(,)（3）当 时, ,即 恒成立,2e()0xmf21ln0xemex设 , ,()lnxhh显然 在 上单调递增,且 ,所以当 时, ;0 (1)x()hx当 时, .即 在 上单调递减,在 上单调递增.1x()hxx01,min()1he所以 ,所以 的取值范围为 . e1,22.解析：（1
18、）直线 的普通方程为 , l3()yxa曲线 的极坐标方程可化为 ,化简可得 . C22cos213yx（2）当 时,直线 的普通方程为 . 1al30xy有点 的直角坐标方程 ,可设点 的坐标为 P21yxP(cos,3in)因此点 到直线 的距离可表示为 l|3cosin3|cosin1|2cos()1|224d - 11 -当 时, 取最大值为 .cos()14d63223.解析：（1）当 时, ,即 或4afx,46,x24,6x或 解得 或 ,4,26,x06所以不等式 的解集为 .f,（2）原命题等价于 在 上恒成立,3fx01即 在 上恒成立,xa即 在 上恒成立,1x即 ,所以实数 的取值范围为 .0a1,0
