1、12017-2018 学年福建省龙岩和平中学九年级（下）期中数学试卷一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（ ）A5300610 人 B5.300610 5人C5310 4人 D0.5310 6人2下列运算： a2a3 a6，（ a3） 2 a6， a5a5 a，（ ab） 3 a3b3，其中结果正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D43在平面直角坐标系中，将 A（1，5）绕原点逆时针旋转 90得到 A，则点 A的坐标是（ ）A（1，5） B（5，1） C（1，5） D（5，1）4如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线
2、 AC、 BD 相交成的锐角 30，若 AC8， BD6，则平行四边形 ABCD 的面积是（ ）A6 B8 C10 D125在一周内，小明坚持自测体温，每天 3 次测量结果统计如下表：体温（） 36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7次数 2 3 4 6 3 1 2则这些体温的中位数是（ ）A36.2 B36.3 C36.4 D36.56如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）2A10 B9 C8 D77如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若120，则2 的度数是（ ）A30 B40 C50
3、 D608将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）A BC D9已知点 A（1， y1）、 B（2， y2）、 C（3， y3）都在反比例函数 y 的图象上，则 y1、 y2、 y3的大小关系是（ ）A y1 y2 y3 B y3 y2 y1 C y2 y1 y3 D y3 y1 y210如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB6， BC10，点 E 在 CD 上，将 BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将 ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处， EBG45； DEF ABG； S ABG S FGH； AG+D
4、F FG则下列结论正确的有（ ）A B C D二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11分解因式：4 m216 n2 312如图，有 6 张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是 13扇形的圆心角为 80，弧长为 4 cm，则此扇形的面积等于 cm214方程 x2240 的根是 15对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称圆形 A 被这个圆“覆盖”例如图中的三角形被一个圆“覆盖”如果边长为 1 的正六边形被一个半径长为 R 的圆“覆盖”，那么 R 的取值范围为 16已知二次函数 y x2+2mx+2，当 x3 时
5、， y 的值随 x 值的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 三解答题（共 9 小题，满分 26 分）17计算：（ ） 2 +（ 4） 0 cos4518先化简（ ） ，然后从 1、2、3 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值19如图，已知 ABC 中， ABC90（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）作线段 AC 的垂直平分线 l，交 AC 于点 O；连接 BO 并延长，在 BO 的延长线上截取 OD，使得 OD OB；连接 DA、 DC（2）试判断 AD、 CD 的位置关系，并说明理由20“品中华诗词，寻文化基因”某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八
6、年级参加竞赛4的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图频数分布统计表组别 成绩 x（分） 人数 百分比A 60 x70 8 20%B 70 x80 16 m%C 80 x90 a 30%D 90 x100 4 10%请观察图表，解答下列问题：（1）表中 a ， m ；（2）补全频数分布直方图；（3） D 组的 4 名学生中，有 1 名男生和 3 名女生现从中随机抽取 2 名学生参加市级竞赛，则抽取的 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 21如图， O 的直径 AB10，弦 AC6， ACB 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DE AB 交 CA 延长线于
7、点 E，连接 AD、 BD（1） ABD 的面积是 ；（2）求证： DE 是 O 的切线（3）求线段 DE 的长22厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 y（ m）与面条横截面积5x（ mm2）之间成反比例函数关系其图象经过 A（4，32）、 B（ t，80）两点（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）求 t 的值，并解释 t 的实际意义；（3）如果厨师做出的面条横截面面积不超过 3.2mm2，那么面条的总长度至少为 m23如图，在 ABC 中， AB AC， O 是 ABC 的外接圆， AE AB 交 BC 于点 D，交 O 于点 E， F在 DA 的延长线上，且 A
8、F AD若 AF3，tan ABD ，求 O 的直径24（12 分）已知如图 1，在 ABC 中， ACB90， BC AC，点 D 在 AB 上， DE AB 交 BC 于E，点 F 是 AE 的中点（1）写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；（2）如图 2，将 BDE 绕点 B 逆时针旋转 （090），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将 BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC4， BE2 ，直接写出线段 BF 的范围25（14 分）已知抛物线 y x2+bx+c 的部分图象如图所示（1）求 b、 c 的值； （2）求 y 的最大
9、值；（3）写出当 y0 时， x 的取值范围672017-2018 学年福建省龙岩和平中学九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（ ）A5300610 人 B5.300610 5人C5310 4人 D0.5310 6人【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可【解答】解：530060 是 6 位数，10 的指数应是 5，故选： B【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键2下列运算： a2a3 a6，（ a3） 2 a6， a5a5 a，
10、（ ab） 3 a3b3，其中结果正确的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可【解答】解： a2a3 a5，故原题计算错误；（ a3） 2 a6，故原题计算正确； a5a51，故原题计算错误；（ ab） 3 a3b3，故原题计算正确；正确的共 2 个，故选： B【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则3在平面直角坐标系中，将 A（1，5）绕原点逆时针
11、旋转 90得到 A，则点 A的坐标是（ ）A（1，5） B（5，1） C（1，5） D（5，1）【分析】根据旋转的性质结合坐标系内点的坐标特征解答8【解答】解：由图知 A 点的坐标为（1，5），根据旋转中心 O，旋转方向逆时针，旋转角度90，画图，从而得 A点坐标为（5，1）故选： D【点评】考查了坐标与图形变化旋转，本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解4如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交成的锐角 30，若 AC8， BD6，则平行四边形 ABCD 的面积是（ ）A6 B8 C10 D12【分析】先过点
12、D 作 DE AC 于点 E，由在 ABCD 中， AC8， BD6，可求得 OD 的长，又由对角线 AC、 BD 相交成的锐角 为 30，求得 DE 的长， ACD 的面积，则可求得答案【解答】解：过点 D 作 DE AC 于点 E，在 ABCD 中， AC8， BD6， OD BD3，30， DE ODsin3 1.5， S ACD ACDE 81.56， SABCD2 S ACD129故选： D【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角函数的知识注意准确作出辅助线是解此题的关键5在一周内，小明坚持自测体温，每天 3 次测量结果统计如下表：体温（） 36.1 36.2 36.3 36.4
13、36.5 36.6 36.7次数 2 3 4 6 3 1 2则这些体温的中位数是（ ）A36.2 B36.3 C36.4 D36.5【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数【解答】解：此题的数据总数为 21，而将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是 36.4，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 36.4故选： C【点评】本题为统计题，考查中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错
14、6如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）A10 B9 C8 D710【分析】先根据多边形的内角和公式（ n2）180求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去 3 即可得解【解答】解：五边形的内角和为（52）180540，正五边形的每一个内角为 5405108，如图，延长正五边形的两边相交于点 O，则1360108336032436，3603610，已经有 3 个五边形，1037，即完成这一圆环还需
15、7 个五边形故选： D【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的 3 个正五边形7如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若120，则2 的度数是（ ）A30 B40 C50 D60【分析】先根据三角形外角的性质求出 BEF 的度数，再根据平行线的性质得到2 的度数【解答】解：如图， BEF 是 AEF 的外角，120， F30， BEF1+ F50， AB CD，2 BEF50，故选： C11【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质8将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）A B
16、C D【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据小于等于或大于等于用实心圆点在数轴上表示解答【解答】解：不等式组 的解集为：1 x3，故选： A【点评】本题考查的是解一元一此不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的解集，在解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别9已知点 A（1， y1）、 B（2， y2）、 C（3， y3）都在反比例函数 y 的图象上，则 y1、 y2、 y3的大小关系是（ ）A y1 y2 y3 B y3 y2 y1 C y2 y1 y3 D y3 y1 y2【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出 y1， y2， y3的值，再比较出其大小即可【解答】
17、解：点 A（1， y1）， B（2， y2）， C（3， y3）都在反比例函数 y 的图象上， ， ， ，236， y3 y2 y1，故选： B【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键10如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB6， BC10，点 E 在 CD 上，将 BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将 ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，12 EBG45； DEF ABG； S ABG S FGH； AG+DF FG则下列结论正确的有
18、（ ）A B C D【分析】由折叠性质得12， CE FE， BF BC10，则在 Rt ABF 中利用勾股定理可计算出 AF8，所以 DF AD AF2，设 EF x，则 CE x， DE CD CE6 x，在 Rt DEF 中利用勾股定理得（6 x） 2+22 x2，解得 x ，即 ED ；再利用折叠性质得34， BH BA6， AG HG，易得2+345，于是可对进行判断；设 AG y，则GH y， GF8 y，在 Rt HGF 中利用勾股定理得到 y2+42（8 y） 2，解得 y3，则AG GH3， GF5，由于 A D 和 ，可判断 ABG 与 DEF 不相似，则可对进行判断；根据
19、三角形面积公式可对进行判断；利用 AG3， GF5， DF2 可对进行判断【解答】解： BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处，12， CE FE， BF BC10，在 Rt ABF 中， AB6， BF10， AF 8， DF AD AF1082，设 EF x，则 CE x， DE CD CE6 x，在 Rt DEF 中， DE2+DF2 EF2，（6 x） 2+22 x2，解得 x ， ED ， ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，34， BH BA6， AG HG，2+3 ABC45，所以正确；HF BF BH1064，13设 AG
20、y，则 GH y， GF8 y，在 Rt HGF 中， GH2+HF2 GF2， y2+42（8 y） 2，解得 y3， AG GH3， GF5， A D， ， ， ， ABG 与 DEF 不相似，所以错误； S ABG 639， S FGH GHHF 346， S ABG S FGH，所以正确； AG+DF3+25，而 GF5， AG+DF GF，所以正确正确故选： B【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11分解因式：4 m216 n2 4（ m+2n）（
21、 m2 n） 【分析】原式提取 4 后，利用平方差公式分解即可【解答】解：原式4（ m+2n）（ m2 n）故答案为：4（ m+2n）（ m2 n）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12如图，有 6 张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是 14【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可【解答】解：任意抽取两张的情况有 15 种，点数和为奇数的有 7 种，点数和为偶数的概率是 ，故答案为： 【点评】考查概率的概念和求法，解题的关键是找到所有存在的情况用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比13扇形的圆心角为 80，弧长为
22、 4 cm，则此扇形的面积等于 18 cm2【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式： S 计算即可【解答】解：设扇形的半径为 r，由题意：4 ，解得 r9（ cm）S 18（ cm） 2故答案为 18【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是记住公式，属于中考常考题型14方程 x2240 的根是 x12 ， x22 【分析】利用直接开平方法解方程得出答案【解答】解： x2240，则 x224，故 x ，解得： x12 ， x22 故答案为： x12 ， x22 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键15对于平面图形 A，如果存在一个圆，
23、使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半15径，则称圆形 A 被这个圆“覆盖”例如图中的三角形被一个圆“覆盖”如果边长为 1 的正六边形被一个半径长为 R 的圆“覆盖”，那么 R 的取值范围为 R1 【分析】根据正六边形的边长等于它的外接圆半径得出 R 的最小值，进而得出答案【解答】解：正六边形的边长等于它的外接圆半径，边长为 1 的正六边形被一个半径长为 R 的圆“覆盖”，那么 R 的取值范围为： R1故答案为： R1【点评】此题主要考查了正多边形和圆，根据正六边形的边长等于它的外接圆半径得出是解题关键16已知二次函数 y x2+2mx+2，当 x3 时， y 的值随 x 值的
24、增大而增大，则实数 m 的取值范围是 m3 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 2 列式计算即可得解【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x m，当 x3 时， y 的值随 x 值的增大而增大， m3，解得 m3故答案为： m3【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键三解答题（共 9 小题，满分 26 分）17计算：（ ） 2 +（ 4） 0 cos45【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式43+1 21116【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键
25、18先化简（ ） ，然后从 1、2、3 中选取一个你认为合适的数作为 a 的值代入求值【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 要使原分式有意义，故 a3，当 a3 时，原式2【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型19如图，已知 ABC 中， ABC90（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）作线段 AC 的垂直平分线 l，交 AC 于点 O；连接 BO 并延长，在 BO 的延长线上截取 OD，使得 OD OB；连接 DA、 DC（2）试判断 AD、 CD 的位置关系，并说明理由【分析】（1）利用线段垂直平分线的
26、作法得出即可；利用射线的作法得出 D 点位置；连接 DA、 DC 即可求解；（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出 AO CO BO DO，据此知四边形 ABCD是矩形，进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：17（2） AD CD，理由：Rt ABC 中， ABC90， BO 是 AC 边上的中线， BO AC， BO DO， AO CO， AO CO BO DO，四边形 ABCD 是矩形， ADC90，即 AD CD【点评】此题主要考查了复杂作图以及矩形的判定，由 BO AC 得出四边形 ABCD 是矩形是解题关键20“品中华诗词，寻文化基因”某校举办了第二届“中华诗词大赛”，
27、将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图频数分布统计表组别 成绩 x（分） 人数 百分比A 60 x70 8 20%B 70 x80 16 m%C 80 x90 a 30%D 90 x100 4 10%请观察图表，解答下列问题：（1）表中 a 12 ， m 40 ；（2）补全频数分布直方图；18（3） D 组的 4 名学生中，有 1 名男生和 3 名女生现从中随机抽取 2 名学生参加市级竞赛，则抽取的 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 【分析】（1）先由 A 组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 C 的百分比可得 a 的值，用 B组人数
28、除以总人数可得 m 的值；（2）根据（1）中所求结果可补全图形；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得【解答】解：（1）被调查的总人数为 820%40 人， a4030%12， m% 100%40%，即 m40，故答案为：12、40；（2）补全图形如下：（3）列表如下：男 女 1 女 2 女 3男 （女，男） （女，男） （女，男）女 1 （男，女） （女，女） （女，女）19女 2 （男，女） （女，女） （女，女）女 3 （男，女） （女，女） （女，女） 共有 12 种等可能的结果，选中 1 名男生和 1 名女生结果的有 6 种抽取的 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为
29、 ，故答案为： 【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率21如图， O 的直径 AB10，弦 AC6， ACB 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DE AB 交 CA 延长线于点 E，连接 AD、 BD（1） ABD 的面积是 25 ；（2）求证： DE 是 O 的切线（3）求线段 DE 的长【分析】（1）求出 ADB 是等腰直角三角形，求出 AD、 BD 的长，即可得出答案；（2）求出 AOD90，根据平行线性质求出 OD
30、E90，根据切线的判定求出即可；（3）过点 A 作 AF DE 于点 F，则四边形 AODF 是正方形，求出 AF5，根据勾股定理求出 BC，求出 EAF CBA，解直角三角形求出即可【解答】解：（1） ACB 的平分线交 O 于点 D， ACD BCD，20 ， AD BD，直径 AB10， ADB90， AD BD 5 ， ABD 的面积为 25，故答案为：25；（2）如图，连接 OD， AB 为直径， CD 平分 ACB ACD45， AOD2 ACD90， DE AB， ODE90， OD DE， DE 是 O 的切线；（3） AB10、 AC6， BC 8，过点 A 作 AF DE
31、于点 F，则四边形 AODF 是正方形，21 AF OD FD5， EAF90 CAB ABC，tan EAFtan CBA， ，即 ， EF ， DE DF+EF +5 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质和判定，等腰直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键22厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 y（ m）与面条横截面积x（ mm2）之间成反比例函数关系其图象经过 A（4，32）、 B（ t，80）两点（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）求 t 的值，并解释 t 的实际意义；（3）如果厨师做出的面条横截面面
32、积不超过 3.2mm2，那么面条的总长度至少为 40 m【分析】（1）直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出 t 的值，得出其实际意义；（3）利用 x3.2 求出 y 的值即可得出答案【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为： y （ x0），将（4，32）代入可得： k128， y 与 x 之间的函数表达式为： y （ x0），（2）将（ t，80）代入 y 可得 t1.6，实际意义：当面条的横截面积为 1.6mm2时，面条长度为 80m；（3）厨师做出的面条横截面面积不超过 3.2mm2， y 40，故面条的总长度至少为 40m故答案为：40
33、22【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解 y 与 x 代表的意义是解题关键23如图，在 ABC 中， AB AC， O 是 ABC 的外接圆， AE AB 交 BC 于点 D，交 O 于点 E， F在 DA 的延长线上，且 AF AD若 AF3，tan ABD ，求 O 的直径【分析】如图，连接 BE利用等腰三角形“三线合一”的性质得到 BF BD；然后根据圆周角定理推知 FBA ABC C E， BE 是 O 的直径利用锐角三角函数的定义可以来求 BE 的长度【解答】解：如图，连接 BE AF AD， AB EF， BF BD AB AC， FBA ABC C Etan AB
34、D ，tan Etan FBA 在 Rt ABF 中， BAF90tan FBA ， AF3， AB4 BAE90， BE 是 O 的直径tan Etan FBA ， AB4，设 AB3 x， AE4 x， BE5 x，3 x4，23 BE5 x ，即 O 的直径是 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理和解直角三角形利用圆周角定理推知 BE 是圆 O 的直径是解题的关键24（12 分）已知如图 1，在 ABC 中， ACB90， BC AC，点 D 在 AB 上， DE AB 交 BC 于E，点 F 是 AE 的中点（1）写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；（2
35、）如图 2，将 BDE 绕点 B 逆时针旋转 （090），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将 BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC4， BE2 ，直接写出线段 BF 的范围【分析】（1）结论： FD FC， DF CF理由直角三角形斜边中线定理即可证明；（2）如图 2 中，延长 AC 到 M 使得 CM CA，延长 ED 到 N，使得 DN DE，连接BN、 BM EM、 AN，延长 ME 交 AN 于 H，交 AB 于 O想办法证明 ABN MBE，推出 AN EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；（3）分别求出 BF 的最大值、
36、最小值即可解决问题；【解答】解：（1）结论： FD FC， DF CF理由：如图 1 中，24 ADE ACE90， AF FE， DF AF EF CF， FAD FDA， FAC FCA， DFE FDA+ FAD2 FAD， EFC FAC+ FCA2 FAC， CA CB， ACB90， BAC45， DFC EFD+ EFC2（ FAD+ FAC）90， DF FC， DF FC（2）结论不变理由：如图 2 中，延长 AC 到 M 使得 CM CA，延长 ED 到 N，使得 DN DE，连接BN、 BM EM、 AN，延长 ME 交 AN 于 H，交 AB 于 O BC AM， AC
37、 CM，25 BA BM，同法 BE BN， ABM EBN90， NBA EBM， ABN MBE， AN EM， BAN BME， AF FE， AC CM， CF EM， FC EM，同法 FD AN， FD AN， FD FC， BME+ BOM90， BOM AOH， BAN+ AOH90， AHO90， AN MH， FD FC（3）如图 3 中，当点 E 落在 AB 上时， BF 的长最大，最大值3如图 4 中，当点 E 落在 AB 的延长线上时， BF 的值最小，最小值 综上所述， BF 26【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边
38、中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题25（14 分）已知抛物线 y x2+bx+c 的部分图象如图所示（1）求 b、 c 的值； （2）求 y 的最大值；（3）写出当 y0 时， x 的取值范围【分析】已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解顶点式：y a（ x h） 2+k（ a， h， k 是常数， a0），其中（ h， k）为顶点坐标还考查了二次函数的对称轴 x 【解答】解：（1）由图象知此二次函数过点（1，0），（0，3）将点代入函数解析式得解得 （2）解析式为 y x22 x+3，即为 y（ x+1） 2+4所以 y 的最大值为 4（3）与 x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）所以当 y0 时， x 的取值范围为 x3 或 x1【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，还有数形结合思想27
