1、- 1 -宜昌市部分示范高中教学协作体 2019 年春期中联考高二（理科）数学（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“ ”的否定是（ ）0200,sin1xxReA B00200,sin1xxReC D2,sixxe2.抛物线 24y的准线方程为（ ）A. B. C. D. 1x1x1y1y3.函数 的单调递增区间是( )xfln)(A. B. C. 1,）（ 1,0,0(D. )(4.如图，已知正方体 1DCBA，若 11zyA
2、xB，则 xyz的值为（ ）A3 B1C1 D3 5. 是方程 表示双曲线的（ ）0nm12nyxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件- 2 -6. =（ ）1(2)0xedA. 1 B. C. D. 1ee1e7.若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直,则此双曲线的实轴长为( ) )0(92axy xy31A. 2 B. 4 C. 18 D. 368.函数 y = (其中 e 为自然对数的底数)的大致图像是( )x3A B C D9.在三棱锥 中, , 为 的中点,则S,SACBABC平 面D异面直线 与 所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 5
3、663053010.对于函数 ,下列说法正确的有( )xfln)( 在 处取得极大值 ； 有两个不同的零点； . )(xfee1)(xf )3()4(ffA.0 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个11.已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，2:1(0,)xyCab2650xy且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 的离心率为（ ）CA B C D3562523- 3 -12.已知函数 的图像上有两对关于 y 轴对称的点，则实数 k 的取值范围0,3ln)(xkxf是（ ）A. B. C. D.0,2e,21-e0,e0,2e第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
4、 分，共 20 分.请将正确答案填写在答题卡相应的位置上.13.曲线 在点 处的切线的倾斜角为 xfsin)()0(,f14.已知 ， ，且 ，则 点的坐标为 .7,53A3,1BCBA215.已知 为抛物线 上的一点， 为抛物线的焦点，若 ，M28yxF120MFO（ 为坐标原点），则 的面积为 (2,0)NOMN16.一边长为 2 的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为 的小正方形，然后做成一个x无盖方盒.方盒的容积的最大值为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知函数 .Rxxf，12)(（1
5、）求函数 的图象在点（2，-1）处的切线方程；(xf（2）求函数 的图象与直线 所围成的封闭图形的面积.)y- 4 -18.（本小题满分 12 分）如图，在长方体 1DCBA中， 2,11AB，点 E是 1DC的中点（1）求证： BCE平 面； （2）求二面角 A的大小19.(本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为 4，并且经过点 .x ），（ 235（1）求该椭圆的标准方程；（2）该椭圆上是否存在一点，它到直线 : 的距离最小？最小距离是多少？l01y- 5 -20.(本小题满分 12 分)如图，已知直三棱柱 中,1CBA,A.11,4,3ACBA（1）求 的长；（2）若 ，求
6、直线 与平面 所成角的余弦值P1P121.(本小题满分 12 分)已知直线 与抛物线 交于 (异lxy2B，A于坐标原点 )两点 .O(1)若直线 的方程为 ，求证: ；l2xyO(2)若 ,则直线 是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说BAl明理由 .- 6 -22.(本小题满分 12 分)设函数 ，且 为 的)0,(21ln)( cRbxcxf 1x)(f极值点(1)若 为 的极大值点，求 的单调区间(用 表示)；1x)(f )f(2)若 恰有两解，求实数 的取值范围.0f c- 7 -宜昌市部分示范高中教学协作体 2019 年春期中联考高二（理科）数学参考答案一、选择题
7、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D D B B C C C B B C A A二、填空题13 14. 15. 16 4)2,41(382716三、解答题17解：（1）由题意 .1 分xf)(所求切线的斜率 .3 分2k所求切线方程为 即 5 分)(1xy03yx（2）由 解答 6 分 2yx2或所以所求的面积为. 3162)61()(2-3xdxfS.10 分18解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），C（0，2，0）， （0，1，1），（1，1，1）， （1，0，0） C.2 分因为 ， 0,DEB所以 .4 分则
8、 DEBE，DEBC 因为 BE 平面 BCE，BC 平面 BCE，BE BCB，- 8 -所以 DE平面 BCE .6 分zyxnAEB,2的 法 向 量 为设 平 面00nyxz则 即.8 分1,n平 面 的 一 个 法 向 量 为, .DEBCEBCE平 面 是 平 面 的 一 个 法 向 量.11 分1cos,2n.12 分.20的 大 小 为由 图 形 可 得 二 面 角 A19.解（1）由题意 设椭圆的方程为 )0(12bayx则 3 分22 249)5(49)5(cba4 分6,10.5 分1602yx所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为2nyxm的 方 程 为） 设 直 线（
9、0162nyx由3518,22得消 去.7 分- 9 -. 9 分4,0n解 得由的 距 离 最 近 ，与 椭 圆 的 交 点 到时 ， 直 线由 图 像 可 知 ， 当 lm间 的 距 离与 直 线直 线 lm23410d.12 分.23最 小 距 离 是20.解（1）以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 AA1=t（t0）,.2 分)0,3(),4(),03(),4(11 BCtBtC ),43(),4(11 tCBtAA.4 分1206t.5 分.4,41的 长 为即(2)由（1）知 )4,0(),30(0, 111 CAPA） ，（.6 分),(1 zyxnC的 法 向
10、量 为设 平 面0431zyAnxP8 分),(,得令10 分34,cos1n.12 分.36A11所 成 角 的 余 弦 值 为与 平 面直 线 PC21.解:(1)证明:由 得 x2-6x+4=0,解得 x=3 2 分y2 5不妨取 A(3- ,1- ), B(3+ ,1+ ), .3 分5- 10 - , OAOB. .5 分0OBA(2)显然直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为 x=ty+m(m0),A(x 1,y1),B(x2,y2),ll由 消去 x 得 y2-2ty-2m=0, .7 分ymtx2y 1y2=-2m, x1x2= =m2, 8 分由 OAOB,得 =x1x2+y
11、1y2=m2-2m=0,m=2, .10 分OBA直线 的方程为 x=ty+2,直线 恒过定点,且定点坐标为(2,0) 12 分l l22解 f(x) xb .cx x2 bx cx因为 f(1)0，所以 bc10，f(x) 且 c1 .1 分xc1(1)因为 x1 为 f(x)的极大值点，所以 c1. .2 分当 0x1 时，f(x)0；当 1xc 时，f(x)0；当 xc 时，f(x)0. 4 分所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，)；单调递减区间为(1，c) . 5 分(2)若 c0，则 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增若 f(x)0 恰有两解，则 f(1)0，即 b0.所以 c0. 7 分12 12若 0c1，则 f(x)极大值 f(c)clnc c2bc，f(x) 极小值 f(1) b.12 12因为 b1c，所以 f(x)极大值 clnc c(1c)clncc 0.c22 c22f(x)极小值 c0，从而 f(x)0 只有一解 .9 分12若 c1，则 f(x)极小值 clnc c(1c)c22clncc 0.c22f(x)极大值 c0，则 f(x)0 只有一解 11 分12- 11 -综上，使 f(x)0 恰有两解的 c 的取值范围为( ，0) .12 分12
