1、1河北武邑中学 2018-2019 学年下学期高三第一次模拟考试数 学 （理工）试 题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ， 满足 ， ，若 ，则集合 ( )A. B. C. D. 2.在复平面内，复数 满足 ，则 的共轭复数对应的点位于（ ）z(1)2izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3、如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.4函数 的图象大致为:1ln()yx2ABCD5.函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中log3
2、101ayxa且 A10mxny，则 的最小值为:;0mnn5 A32B32326.已知 的内角 A， B， C 的对边分别别为 a， b， c，且 os(cos).CaB+bAc则 =（ ）1,3abcA6 B7 C.8 D97 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C1 D1215 320 215 3208.已知函数 的图象经过点 ，且关于直线 对称，则下列结论正确的是( )A. 在 上是减函数 B
3、. 若 是 的一条对称轴，则一定有C. 的解集是 ， D. 的一个对称中心是9.从 1，2，3，4，5 中任取 5 个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 3215210.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）1A B C D3433431211.设 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 的右支上，若12、F2:10,xyCabPC3，则该双曲线的离心率为（ ）122130,60PFFA B C D32342312.对于任
4、意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.向量 ， ，若向量 ， 共线，且 ，则 的值为_14在 的展开式中常数项等于 .51x15.数列 满足： : 的前 项和为 ，则 _.na12,1nnannS16.已知在直三棱柱 中， ， ，若棱 在正视图的投影面 内，且 与投影面 所成角为 .设正视图的面积为 ，侧视图的面积为 ，当 变化时， 的最大值是_三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 1
5、7.(本大题满分 12 分)在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .ABCCabc(2sinco)A（I）求 ；sin（II）若 ， ，求 的面积.2a34AB18. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， ，平面平面 ，点 为棱 的中点4（）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由；（）当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角19. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取 5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程 （ 精确到 0.1） ，若某天的气温为 15oC
6、，axby预测这天热奶茶的销售杯数；（）从表中的 5 天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于 130 的概率.参考数据： ， .125079124 602947103124参考公式： ，21niiixybxba20.已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的标准方程；（2）若不过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，并且点 是线段 的中点，求面积的最大值.气温 （ oC）x0 4 12 19 27热奶茶销售杯数 y150 132 130 104 94521. 已知 ,设 ,且 ,记 ;()lnfx12(,l)(,
7、ln)AxBx12120x（1）设 ,其中 ,试求 的单调区间;)gaR(g（2）试判断弦 的斜率 与 的大小关系,并证明;BABk0()f（3）证明：当 时, .1x1lnxe选做题（请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22.选修 4-4：坐标系与参数方程（本大题满分 10 分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 处，极轴与 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直Ox线 的极坐标方程为 ，曲线 ( 为参数).其中 .lsin562cos:inxCy 0,2a（）试写出直线 的直角坐标方程及曲线 的普通方程；l（）若点 为曲线 上的动点，求点 到直线
8、 距离的最大值.PCPl23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 .32fx()求 的解集；1()若 恒成立，求实数 的最大值.2fxaa高三第一次模拟考试理数答案1.CDAAC 6-10:CBCDC 11-12:AB13.-8 14， 9 15， 16. .21n17解：（）由 得，(2sico)bA6，sin2isnicosin()2sinsicoBACACACA所以 ； 15icoita,i（） ，设 ，2sin5bBcC,2bkc，310os()cossinACB由余弦定理得： ，2 2552kkk所以 ，10,bc所以 的面积 ABC12sin12SacB18.【详解】 （）在棱
9、上存在点 ，使得 平面 ，点 为棱 的中点理由如下：取 的中点 ，连结 、 ，由题意， 且 ，且 ，故 且 .所以，四边形 为平行四边形.所以， ，又 平面 ， 平面 ，所以， 平面 6 分（）由题意知 为正三角形，所以 ，亦即 ，又 ，所以 ，且平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，故以 为坐标 原点建立如图空间直角坐标系，设 ，则由题意知 ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则由 得 ，令 ，则 ， ，7所以取 ，显然可取平面 的法向量 ，由题意： ，所以 .由于 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易知在 中， ，从而 ，所以直线 与平面 所成的角
10、为 12 分19. 解：（）由表格中数据可得， , 2 分4.12xy 5 分0.4.1265021 niiixyb 8ya热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方 程为 .6 分8.1460.2xy当气温为 15oC 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为 (杯) 8 分178.6.1450.2y（）设 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120”， 表示事件“所选取该天的热奶茶销售A B杯数大于 130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120 时，销售杯数大于 130”应为事件 .AB|.10 分 ，53)(AP52)(B 3)(|(已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于 120
11、时 ，销售杯数大于 130 的概率为 .12 分32820.【答案】 （1）椭圆 的方程为 ；（2） 面积的最大值为： .【解析】(1) 由椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆 上得 解得 所以椭C:x2a2+y2b2=1(ab0)圆 的方程为 .(2)易得直线 的方程为 .当直线 的斜率不存在时， 的中点不在直线 上，故直线 的斜率存在.设直线 的方程为 ,与 联立消 得,所以 .设 ,则 , .由 ,所以 的中点 , 因为 在直线 上，所以 ,解得所以 ,得 ,且 ,又原点 到直线 的距离 ,所以 ，当且仅当 时等号成立，符合 ,且 .所以 面积的最大值为： .921. 21. 解：（1） （
12、），()ln1)gxax11()gxa若 ，则 ，它为 上的增函数，0a()0x(,)若 ，则增区间为 ，减区间为 3 分1(,)a1,a（2）21121(ln)AB xkxx令 ， ， ，而 .故在 单21tx()lntht 2 2(1)() 0()thtt(1)h(,)调递增，故 7 分012()ABkfx（3）当 时，原不等式等价于 ，由（2）知 ，即证(,)xln1xe1ln2x，转化为 .21xe21()x令 ， ， ，故 也成立. 12 分2()()xF()()0xFe(1)20Fe(1,)x22、解析：（1） ，即 ，又 .5)6sin(10cossin3sin,coyx直线 的直角 坐标方程为 .l 01yx曲线 （ 为参数） ，消去参数 可得曲线 的普通方程为 .sin2,coyxC： C2)(2yx（2）由（1）可知，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆 .C)2,0(10圆心 到直线 的距离 ，)2,0(l 35)1(3020d点 到直线 距离的最大值为 .Pl523. 解：()由 得 ，1fx|32|1所以 ，解得 ，132x所以， 的解集为 . 5 分fx13，() 恒成立，即 恒成立.2fa2xa当 时， ；0xR当 时 ， .23xx因为 (当且仅当 ，即 时等号成立)，6x2363x所以 ，即 的最大值是 . 10 分2aa6
