1、- 1 -赣州市五校协作体 2018-2019 学年第二学期期中联考高二数学理科试卷考试时间：2019 年 4 月 25 日 试卷满分：150 分第 I 卷一、选择题：本题共有 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 等于（ ） (1+)=2 |A1 B2 C D2 222已知命题 ：方程 表示双曲线；命题 ： .命题 是命题 的（ 2+2=1 1,) 等于（ ）923+934+945+9201820192n34n5nA B C D20152016 20162017 20172018 2018201912已知双曲
2、线 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，抛物2222=1(0,0) 2=8线的准线与双曲线交于 两点，且 的面积为 （ 为原点） ，则双曲线的方程为（ , 6 ）A B C D23212=1 236232=1 232=1 223=1第 II 卷- 4 -二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为()=3+22 =()(1,(1)_14某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说：“你们的成绩都没有我高 ”.乙说：“我的成绩一定比丙高 ”丙说：“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三人成绩互. .不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到
3、低排序，则甲排在第_名 .15设 F 是双曲线 C： 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚22-22=1轴的一个端点，则双曲线 C 的离心率为_.16已知函数 f (x)及其导数 f ( x)，若存在 x0，使得 f (x0) f ( x0)，则称 x0是 f (x)的一个“巧值点” ，则下列函数中有“巧值点”的是_ f(x) x2； f(x)e x； f(x)ln x； f(x)tan x； .1fx三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题 10 分）（1）设 ，用综合法证明： ；0 3+32+2（2）用分
4、析法证明： .6+722+518 （本小题 12 分）如图 ，在边长为 4 的正方形 中，点 分别是 的中点，点1 , ,在 上，且 ，将 分别沿 折叠，使 点重合于点 ，如图 4AMD, , , 所示 .2- 5 -试判断 与平面 的位置关系，并给出证明；(1) 求二面角 的余弦值.(2) 19 （本小题 12 分）已知函数 ()=2(1)（1）求函数 的单调区间；()（2）求 在区间 上的最大值和最小值() 1,220 （本小题 12 分）已知抛物线 C： 过点2=2(0) (4,42).求抛物线 C 的方程；(1)设 F 为抛物线 C 的焦点，直线 l： 与抛物线 C 交于 A， B 两
5、点，求 的面(2) =28 积- 6 -21 （本小题 12 分）已知椭圆 C 过点 ，两个焦点 (26,2) (26,0),(26,0)（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，且| AB|6，求 AOB 面积的最大值22 （本小题 12 分）已知函数 .()=3+（1）讨论 的单调性；()（2）若函数 在 上有零点，求 的取值范围。()=() 12 ,2 - 7 -赣州市五校协作体 2018-2019 学年第二学期期中联考高二数学理科试卷参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B D C A A A B D B C D13 14
6、2+=0 15 165 17 （1） 3+3(2+2)=2()+2()3 分=()(22)=()2(+)而 ()20 ， +0 3+3(2+2)05 分 3+32+2（2）要证 ，只需证 ，6 分6+722+5 ( 6+7)2(22+5)2即证 ， 7 分42210只需证 ， 8 分( 42)2(210)2即 ， 9 分4240而 显然成立，故原不等式得证. 10 分424018 与平面 的位置关系是 平面 . 1 分(1) /证明：在图 中，连结 交 于 ，交 于 ，则 2 分1 =12=14.- 8 -在图 中，连结 交 于 ，连结 . 3 分2 在 中，有 所以=14,=14,/.又因为
7、 面 ， 面 ，5 分故 平面 . 6 分/解法一：在图 中，连结 交 于 ，连结 . 7 分(2) 2 图 中的 ，即图 中的 所以2 , 1 ,.又 所以 面 =, ,.又 ，所以 面 .则 为二面角 的平面角. 10 分易知 ，则在 中， ，则 =1,=2 =2+2=3.在 中， 由余弦定理，得=3,=32,=2+222=63.所以二面角 得余弦值为 12 分63.解法二：以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， , 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系 7 分 ,- 9 -则 ，8 分(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,0,1)于是 9 分=(2,0,1),=(0,2,
8、1),=(2,0,4),=(0,2,4).分别设平面 ，平面 法向量为 ， 1=(1,1,1),2=(2,2,2)由 得 于是取 ，10 分1=0,1=0, 21+1=021+1=0 1=(1,1,2)又由 得 于是可取 . 11 分2=0,2=0, 22+42=022+42=0 2=(2,2,1)因为1,2=12|1|2|= 669=63,所以二面角 的余弦值为 12 分63.19 （1） ，()=2(1)=32 1 分()=322由 ，解得 或 ；3 分()=3220 23由 ，解得 ，5 分()=3220) (4,42)所以 ，解得 ，3 分(42)2=8=32 =4所以抛物线 的方程为
9、 4 分 2=8（2）由抛物线的方程可知 ，5 分(2,0)直线 与 轴交于点 ，6 分:=28 (4,0)联立直线与抛物线方程 ，8 分=282=8 消去 可得 ，9 分 2432=0所以 ，10 分1=8,2=4所以 ，=12|12|=12212=12所以 的面积为 12 分 1221解：（1）由题意，设椭圆方程为 （ a b0） ，22+22=1- 11 -且 c ，1 分=262a 12，2 分=(26+26)2+22+(2626)2+22=则 a6， b2 a2 c2123 分椭圆 C 的标准方程为 ；4 分236+212=1（2）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线方程为 x m，
10、 得| AB| ，=233 362由| AB| 6，解得 m3，5 分=233 362=此时 ；6 分=1263=9当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程为 y kx+m， 联立 ，得（3 k2+1） x2+6kmx+3m23607 分=+236+212=1 36 k2m24（3 k2+1） （3 m236）432 k212 m2+1448 分设 A（ ， ） ， B（ ， ） ，11 22则 ， 1+2=632+1 12=323632+1由| AB| 6， 10 分=1+2 (632+1)212214432+1 =整理得： ，原点 O 到 AB 的距离 d 11 分2=3(32+1)(2+3
11、)2+1 = |2+1- 12 -=126 |2+1=3 22+1=33 3(2+1)2+4(2+1)4(2+1)2=33 4 1(2+1)2+4 12+1+3当 时， AOB 面积有最大值为 912 分12+1=12 63综上， AOB 面积的最大值为 922 （1）因为 ，所以 . 1 分()=3+ ()=32+当 时，因为 ，所以 在 上单调递增；2 分0 ()=32+0 ()当 时，令 ，解得 或 . 3 分033令 ，解得 ，4 分()0122 1215420则 ， ，()=(2)=4+2()=( 22)=12+22 =12122故 的取值范围为 . 12 分 4+2,12122- 14 -
