1、- 1 -上饶中学 2018-2019 学年高一下学期第一次月考数学试卷（理科特零班）考试时间：120 分钟； 满分：150 分一，选择题（每题 5 分，共 60 分）1.数列 ， ， ， ， ， .，的一个通项公式为（ ）A B C D2.设 ，角 的终边经过点 ，那么 （ ）0a3,4Pasin2cosA B C D25253已知 是等差数列，且 ，则 （ ）n2310867aA12 B24 C20 D164.已知等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 为（ ）na24a2940x3aA B C D235.若 ，则A B C D6.设 为等差数列 的前 项的和， ， ，则数列 的前nSna
2、1a20186S1nS2017 项和为（ ）A B C D201797712087.小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按复利计算，并从借款MP后次年年初开始归还，分 次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元. 101A B C D1010P10M91P8.先使函数 图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的 ，然后将其图)(xfy 2象沿 x 轴向左平移 个单位得到的曲线与 的图象相同，则 的表达式为( )6sin2yxxf- 2 -ABsin43yxsin6yxC Dii39.某柱体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的侧面积（单位： ）是（ ）A6 B
3、C D10. 已知 是 的角 平分线与边 交于点 ，且 ， ， ，则 （ ）A B C D11.已知定义在 上的函数 满足：对于任意的 ，都有RyfxxR；函数 是偶函数；当 时， 2fxf20,2， ，则 的大小关系是（ ）1xfe19415,afbfcf,abcA B C Dabcc12.已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）sinofxxA 的图象关于直线 对称 B 在区间 上单调递减f 2fx35,4C若 ，则 （ ） D 的最小正周期为12fxf14xkZf2二，填空题（每题 5 分，共 20 分）13.已知半径为 2 的扇形 的弦长 ，则该扇形的弧长是_14.如图在平行四边形 中，
4、ABCD为 中点， ,3,ABabNM_ (用 表示)MNa- 3 -15.如图，在圆内接四边形 ABCD 中，BC=1，CD=2，DA=3，AB=4，则四边形 ABCD 的面积为_16.已知数列 满足 ， ，则_1.1132naaa三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17.（本题 10 分）已知 是等比数列， ， ，数列 满足 ， ，且是等差数列.（）求数列 和 的通项公式；（）求数列 的前 项和.18 （本题 12 分）在 中，角 所对的边分别为 且 （1）求 的值；BAbasin（2）若 ，求 的面积19 （本题 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 为等边三角形， 是线
5、段 上的一点，且 平面 .（1）求证： 为 的中点；（2）若 为 的中点，连接 ， ， ， ，平面 平面 ， ，求三棱锥 的体积.- 4 -20 （本题 12 分）已知数列 的前 项和 （ 为正整数） （）求证： 为等差数列；（）求数列 的前 项和公式 21 （本题 12 分）如图， 是一块半径为 ，圆心角为 的扇形空地.现决定在此空地OAB13上修建一个矩形的花坛 ，其中动点 在扇形的弧 上，记 .CDEFCABCO(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式；S(2)当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.22 （本题 12 分）在平面直角坐标系中，点 ,圆 的半径为 2，
6、圆心在5,410MNC直线 上1:2lyx（1）若圆心 也在圆 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程。C2640yx（2）若圆 上存在点 ，使 ,求圆心 的纵坐标 的取值范围。R2RNCb- 5 -参考答案1C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以 1 为首项，以2 为公差的等差数列，从而易求出其通项公式【详解】数列 an各项值为 ， ， ， ， ， ，各项绝对值构成一个以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，| an|2 n1又数列的奇数项为负，偶数项为正， an（1） n（2 n1） 故选： C【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖
7、掘其规律是关键解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错2A【解析】依题意有 ,所以 ,所以22345OPaa43sin,cos5,故选 A.46sincos5【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，三角函数的正负.对于给定角的终边上一点,求出角的正弦值,余弦值和正切值的题目,首先根据三角函数的定义求得 ,然后利用2rxy三角函数的定义,可直接计算得 .本题由于点的坐标含有参数,要sin,cos,tanyxyrr注意三角函数的正负.3B【解析】由等差数列的性质可得 ，所以 ，故310248a31024a。选 B。673104aa4B- 6 -【解析】已知等比数列 中， ， 是方程 的两根
8、,故 na24a2940x24,a根据等比数列的性质得到 243,.故答案为：B.5C【解析】【分析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出【详解】log m2log n20， 0，lgnlgm0，可得 nm1故选：C【点睛】本题考查了对数换底公式、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6A【解析】S n为等差数列a n的前 n 项的和 a1=1，设公差为 d， =20186S因为 1 11 12,222n nadnSSad ，所以 ，所以201861 111222n nnSadSn所以数列 的前 2017 项和为n1112072. 23207889 故选 A- 7 -7B
9、【解析】设每年应还 万元，则 ， x29101.1xpxpM，选 .选 B.1010xpMp10P8D【解析】解法一：正向变换，即 ，1262()6xyfxyfyfx 横 坐 标 缩 小 到 轴 向 左 平 移 个 单 位沿原 来 的 23yfx所以 令 则 ， ，即sin.3fx,3t23tsinftt. ifx解法二：逆向变换据题意，6 2sin2sin2sin263yxyxx 向 右 平 移 个 单 位 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 倍纵 坐 标 不 变.i3考点：三角函数图象的平移和伸缩变换.9C【解析】【分析】由三视图还原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形 ABCD 为
10、直角梯形，且CD CG BC2， AB1，则 AD 则可求该柱体的侧面积【详解】由三视图还原原几何体如图，- 8 -该几何体为直四棱柱，底面四边形 ABCD 为直角梯形，且 CD CG BC2， AB1，则 AD 该柱体的侧面积为（2 +2 +1 + ） ，故选： C【点睛】本题考查由三视图求面积，关键是由三视图还原几何体，是中档题10D【解析】分析：如图，过点 分别作 的高线 ，垂足分别是 过 点作于点 ，由勾股定理可得 长度，利用面积法可得 ，即可得 详解： 如图，如图，过点 分别作 的高线 ，垂足分别是 是 的角平分线，过 点作 于点 ，在直角 中， 又 在直角 中，由勾股定理得到 即
11、解得 ，又在直角 中， - 9 -故选 D.点睛：本题考查了勾股定理、角平分的性质以及含 30 度角的直角三角形根据题意作出辅助线，是解题的难点11A【解析】由知 为周期是 的周期函数，由函数 图象关于 对称，由知fx4fx2在 是增函数， fx0,21934197353, , 1242afffbffcfff，故选 A。7124ffac点睛：本题主要考查了函数的周期性、对称性、单调性。数的大小比较主要利用函数的单调性。利用函数的周期和对称性将函数值转化到函数的同一个单调区间内，便可利用函数的单调性解决。12C【解析】因为 ，所以 的图象sincossincofxxxfxfx关于直线 对称，选项
12、 A 正确；当 时， ，所以2354cos0在 上为减函数，选项 B 正确；若 ，1sincosin2fxx， 12fxf则 ，若 时也成立，但不满足条件12i2i120,x，选项 C 错误；因为 ，所以1,4xkZ,2fxfxfx最小正周期为 ，故本题选项中错误的是 C.选 C.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。本题要对选项逐一判断，主要正弦函数性质的应用。 13【解析】【分析】- 10 -利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果.【详解】在 中， ，故 ，故弧长故答案为：【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题.14 14ab【解析】 11, ,24
13、24MCBADCBNACBMCbNab，故答案为 1242Nbab4a15 6【解析】因为 BD2=AB2+AD22ABADcosA=54cosA，且 BD2=CB2+CD22CBCDcos（A）=25+24cosA，cosA= ，57又 0A，sinA= 26S BCD =SABD +SCBD = = 11sinsin2ABDCA26点睛：四边形问题往往转化为三角形问题，注意四边形的对角线是解题的关键，通过余弦定理可以把两个三角形有机的结合到一起.16【解析】【分析】由题意结合数列的递推关系首先求得数列 的通项公式，然后分组求和求解数列的前 n 项和即可.【详解】- 11 -令 ，则 ，由题
14、意可得： ，即： ，整理可得： ，令 ，则 ，由题意可得： ，且 ， ，故 ，即 ， ， ，据此可知：.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项17(1) ；（2） .【解析】试题分析：（）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求解数列的和试题解析：（）设等
15、比数列 的公比为 ，由题意得，解得 .所以 .设等差数列 的公差为 ，由题意得.所以 .（）由（）知 .- 12 -数列 的前 项和为 ；数列 的前 项和为所以，数列 的前 项和为 .18 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理求出 ，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出 ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案【详解】（1）因为 ，由正弦定理 ，得 ， ；（2） ，由余弦定理得 ，即 ，所以 ，解得 或 （舍去） ，所以【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理等知识在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握19(1)见
16、解析(2) 【解析】分析：（1）线面平行性质定理连接 , 平面 ，平面 平面， 平面 ， 为 的中点， 为 的中点；（2）利用边长的倍数关系进行转化 , 平面 平面 ,即 平面 ，- 13 -（1）证明：如图，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ， 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，而 为 的中点， 为 的中点.（2）解： ， 分别为 ， 的中点， .取 的中点 ，连接 ， 为等边三角形， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，而 ， ， ， .点晴：空间立体是高考必考题型，需熟练掌握平行垂直判定定理和性质定理，在求体积时运用体积公式，找出底和高即可20(1)见解析(2)
17、【解析】 【试题分析】(I)利用 ,可求得 ,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得 的表达式,并利用错位相减求和法求其前 项和 .【试题解析】（） （方法一）当 时， 解得由 得，当 时，有 代入上式得 - 14 -整理得，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列（方法二）当 时， 解得 ，设 ，则 ， 当 时，有 代入得整理得 所以 即 是以 为首项， 为公差的等差数列（）由（）得 ，依题意 上式两边同乘以 ，得 -得，所以21 （1） （2） 时， S 取得最大值23sincosinS636【解析】试题分析：(1)由 OFcoCsin， si3tanDECOE， ；(2)化简得2si
18、 3cosincosinSF0,33sin26.再由 当 时，矩形 CDEF 的面积 S 取得最大值650,66- 15 -.36试题解析：(1)因为： ，OFcosCsin，所以 ， ， 所以in3tanDE sinco3EFO， .2si 3cosicosinSFC 0,(2) 23sinsin1i2co6313sins26= .i236因为 ，0,所以 ，52,6所以当 ，即 时，矩形 CDEF 的面积 S 取得最大值 .6 36【点睛】本题的主要步骤有：利用三角函数的定义求得 ,再由矩形的面积公式求得函数；CEF利用三角恒等变换化简函数的表达式；利用正弦函数图像求得最值.22 （1）
19、或 4y28540xy（2） 或6361b631655b- 16 -【解析】试题分析：（1）建立方程组 圆心（2，-2） ，设切线方程，21640yx再由点到直线的距离公式解得 或 所求切线方程为 或0k85 4y28450xy（2）设点 ，由 点 在以 为圆,R22346MRNxyR3,D心，以 为半径的圆上，由圆 C 与圆 D 有公共点 或 .631616055CDb315b试题解析：（1） 解得 ，所以圆心（ 2，-2） ，设切线方程为2 640yx2 xy，即 ， ，解得 或 ，45ykx5ky2541k0k2845所求切线方程为 或42840x（2）设圆 的方程为 ，设点 ，因为 ,C22byb,Rxy2MRN所以 ，化简得 ，所以点2251xyx22346在以 为圆心，以 8 为半径的圆上，由题意知点 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公R3,4D共点，则 ，即 ，所以 ，610C2263410b25159b解得 或355b16365- 17 -
